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Vidéo de question : Détermination des propriétés générales d’un gaz idéal Physique

Un ballon a un volume de 0,015 m³ au niveau de la mer, où la pression atmosphérique est de 101 kPa et la température est de 300 K. Trouvez le volume de ce ballon en un point situé à 1,4 km au-dessus du niveau de la mer, où la température est de 245 K. Modélisez l’atmosphère comme ayant une masse volumique uniforme de 1.225 kg/m³. Donnez la réponse arrondie à quatre décimales près.

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Transcription de vidéo

Un ballon a un volume de 0,015 mètres cube au niveau de la mer, où la pression atmosphérique est de 101 kilopascals et la température est de 300 kelvins. Trouvez le volume de ce ballon en un point situé à 1,4 kilomètres au-dessus du niveau de la mer, où la température est de 245 kelvins. Modélisez l’atmosphère comme ayant une masse volumique uniforme de 1,225 kilogrammes par mètre cube. Donnez la réponse arrondie à quatre décimales près.

Disons que cette ligne représente le niveau de la mer et que notre ballon est initialement ici avec un volume, une pression et une température donnés. Au fil du temps, cependant, le ballon se déplace jusqu’à une altitude de 1,4 kilomètre. Nous voulons déterminer le volume du ballon à ce stade. Pour différencier ce volume du volume du ballon au niveau de la mer, appelons ce volume 𝑉 deux. En cherchant à déterminer ce volume, nous allons traiter l’air du ballon comme un gaz parfait. Cela signifie qu’il suit la loi des gaz parfaits. Cette loi dit que la pression d’un gaz multipliée par son volume est égale au nombre de moles de ce gaz multiplié par une constante 𝑅, appelée constante des gaz parfaits, multipliée par la température du gaz.

Dans le cas de notre ballon, le nombre de moles de gaz dans le ballon est constant, et 𝑅, la constante des gaz parfaits, est toujours la même. Et donc, 𝑛 fois 𝑅 dans notre cas est une valeur constante. Si nous divisons les deux côtés de la loi des gaz parfaits par la température 𝑇, alors ce facteur s’annule à droite. Ce que nous constatons alors, c’est que la pression du gaz fois son volume divisé par sa température est égale à 𝑛 fois 𝑅, ce qui, comme nous l’avons vu, est constant dans notre cas.

Cela signifie que si nous devions prendre la pression du gaz à un instant donné, appelons cette pression 𝑃 un et multiplions-la par le volume du gaz au même instant, 𝑉 un, et divisons tout cela par la température du gaz à ce instant-là, 𝑇 un, alors cela serait égal à la pression du gaz à un autre instant, 𝑃 deux, fois son volume à cet autre instant, 𝑉 deux, divisé par sa température à ce deuxième instant, 𝑇 deux.

Dans le cas de notre ballon, nous dirons que cet instant initial est le moment où le ballon est au niveau de la mer. Donc, nous appellerons la pression, le volume et la température de l’air dans le ballon à cet instant-là 𝑃 un, 𝑉 un et 𝑇 un. De même, nous dirons que cet instant où le ballon est à 1,4 kilomètres d’altitude est le deuxième instant où il a une pression 𝑃 deux, un volume 𝑉 deux et une température 𝑇 deux. Cela signifie que dans cette équation ici, c’est la variable 𝑉 deux que nous voulons déterminer. Pour nous aider, multiplions les deux côtés de l’équation par 𝑇 deux divisé par 𝑃 deux. Cela signifie que sur le côté droit de notre expression, cette température ainsi que cette pression s’annulent.

En réarrangeant l’expression qui en résulte, nous trouvons que 𝑉 deux est égal à 𝑉 un fois le rapport de pression 𝑃 un sur 𝑃 deux multiplié par le rapport de température 𝑇 deux sur 𝑇 un. Dans l’énoncé de notre problème, on nous donne des valeurs pour un certain nombre de ces variables. On nous dit, par exemple, que le volume du ballon au niveau de la mer – ce que nous avons appelé 𝑉 un – est de 0,015 mètres cube. La pression de l’air dans le ballon est de 101 kilopascals, et la température de l’air est de 300 kelvins. On nous dit également que la température de l’air dans le ballon à son altitude de 1,4 kilomètres est de 245 kelvins ; c’est 𝑇 deux, ce qui signifie que nous avons maintenant des valeurs pour 𝑉 un, 𝑃 un, 𝑇 un et 𝑇 deux. Celle qui nous manque cependant pour pouvoir déterminer 𝑉 deux est cette deuxième pression 𝑃 deux.

Nous pouvons noter cependant que nous traitons l’air dans l’atmosphère comme ayant une masse volumique uniforme de 1,225 kilogrammes par mètre cube. Nous pouvons rappeler que la pression dans un fluide, par exemple l’air dans l’atmosphère, est égale à la masse volumique de ce fluide multipliée par l’accélération due à la gravité multipliée par la hauteur du fluide. Nous devons cependant faire attention ici car nous pourrions penser que la pression à notre altitude de 1,4 kilomètres, ce que nous avons appelé 𝑃 deux, peut être calculée en utilisant cette équation où la hauteur ℎ est notre altitude de 1,4 kilomètres. Mais en réalité, cette étendue d’atmosphère est une étendue qui ne contribue pas à la pression atmosphérique en ce point. C’est en fait tout l’air de l’atmosphère au-dessus de ce point jusqu’au sommet de l’atmosphère qui crée cette pression.

Disons que cette colonne d’air a une hauteur ℎ deux. Si nous connaissions cette hauteur, nous pourrions utiliser cette relation ici pour déterminer la pression 𝑃 deux dans notre équation pour 𝑉 deux. Pour commencer, faisons de la place en haut de notre écran. La pression de l’air dans le ballon 1,4 kilomètres au-dessus du niveau de la mer, nous l’avons appelé 𝑃 deux, est égale à la masse volumique de l’air dans l’atmosphère multipliée par l’accélération due à la gravité fois ℎ deux. On nous a donné la masse volumique 𝜌 de l’air dans l’atmosphère, et nous savons que l’accélération due à la gravité 𝑔 est de 9,8 mètres par seconde au carré. Nous ne connaissons pas ℎ deux, mais nous pouvons essayer de la déterminer en considérant non pas la pression 𝑃 deux, mais plutôt la pression 𝑃 un au niveau de la mer. Cette pression que nous pouvons voir est due à l’air d’une hauteur ℎ deux plus 1,4 kilomètres.

Si nous écrivons une équation, alors pour la pression 𝑃 un, elle serait égal à 𝜌 fois 𝑔 fois la quantité ℎ deux plus 1,4 kilomètres. Dans cette équation, nous connaissons encore une fois 𝜌 et 𝑔 mais nous ne connaissons pas ℎ deux. Mais la différence maintenant est que nous connaissons 𝑃 un ; rappelons que cela nous est donné dans l’énoncé du problème. Ce que nous allons faire alors, c’est réorganiser cette équation de sorte que ℎ deux soit le sujet. Pour ce faire, nous pouvons d’abord diviser les deux côtés par 𝜌 fois 𝑔, en supprimant ces deux facteurs sur le côté droit. Puis, comme étape suivante, nous soustrayons 1,4 kilomètres des deux côtés, de sorte qu’à droite, 1,4 kilomètres moins 1,4 kilomètres soit zéro. Nous avons maintenant une expression pour ℎ deux où toutes les valeurs de l’autre côté de l’équation sont connues.

Comme nous allons calculer ℎ deux, nous pouvons insérer les valeurs de 𝑃 un, 𝜌 et 𝑔. Mais avant d’entrer cette expression sur notre calculatrice, nous voulons faire deux changements dans les unités. Premièrement, nous devons convertir les kilopascals en pascals, et deuxièmement, nous convertirons les kilomètres en mètres. Pour effectuer ces conversions, nous pouvons rappeler que 1000 pascals est égal à un kilopascal et 1000 mètres est égal à un kilomètre. Dans les deux cas de conversion, nous multiplierons les valeurs par 1000. 101 fois 1000 est 101000, et 1,4 fois 1000 est 1400. Parce qu’un pascal est égal à un newton par mètre carré et peut donc être exprimé en unités de base SI, nous sommes maintenant prêts à calculer notre hauteur ℎ deux.

ℎ deux vaut environ 7013,2 mètres. C’est donc la hauteur que nous pouvons utiliser dans notre équation pour obtenir la pression 𝑃 deux. En libérant de l’espace, nous insérons nos valeurs connues 𝜌, 𝑔 et ℎ deux. Pour notre pression 𝑃 deux, nous calculons une valeur d’environ 84190 pascals, ce qui équivaut à 84,190 kilopascals.

Maintenant que nous avons une valeur pour 𝑃 deux, nous pouvons avancer dans la détermination du volume 𝑉 deux. Il est égal à 𝑉 un, 0,015 mètres cubes, multiplié par 𝑃 un divisé par 𝑃 deux multiplié par 𝑇 deux divisé par 𝑇 un. Notez que sur le côté droit, nous avons des kilopascals au numérateur et au dénominateur. Par conséquent, ces unités s’annulent, de même que les kelvins pour la température. Notre réponse finale sera en mètres cubes. 𝑉 deux est un nombre décimal long. Mais si nous l’arrondissons à quatre décimales, nous obtenons 0,0147 mètre cube. Il s’agit du volume du ballon, à 1,4 kilomètre au-dessus du niveau de la mer.

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