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Vidéo de question : Trouver les racines de l’unité en commun pour différentes valeurs de 𝑛 Mathématiques

Combien parmi les racines 8e de l’unité sont aussi des racines 12e de l’unité?

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Transcription de vidéo

Parmi les racines huitièmes de l’unité, combien sont également des racines 12-ièmes de l’unité?

Les racines huitièmes de l’unité sont les huit valeurs de 𝑧 telles que 𝑧 puissance huit est égal à un. De la même manière, les racines 12-èmes de l’unité sont toutes les valeurs de 𝑧 telles que 𝑧 puissance 12 est égal à un. Pour trouver toutes les racines 𝑛-ièmes de l’unité, on peut utiliser la formule cosinus de deux 𝑘𝜋 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus de deux 𝑘𝜋 sur 𝑛. Appliquer cette formule pour tout entier 𝑘 compris entre zéro et 𝑛 moins un nous donne les coordonnées polaires de toutes les racines 𝑛-ièmes de l’unité.

Pour répondre à la question qui nous est posée, on pourrait bien sûr déterminer toutes les racines huitièmes de l’unité et toutes les racines 12-ièmes de l’unité, puis comparer ces valeurs. Cependant, cette méthode impliquerait de comparer 20 coordonnées polaires. Cela fonctionnerait, mais prendrait beaucoup de temps. Heureusement, on sait quelque chose à propos des racines de l’unité communes à deux ensembles de racines qui pourra nous aider. On sait que les racines qui sont communes à 𝑧 puissance 𝑛 moins un égale zéro et 𝑧 puissance 𝑚 moins un égale zéro sont les racines de 𝑧 puissance 𝑑 moins un égale zéro, avec 𝑑 le plus grand commun diviseur de 𝑚 et de 𝑛.

On peut réécrire nos racines huitièmes de l’unité sous la forme 𝑧 puissance huit moins un égale zéro. Puis on réécrit nos racines 12e de l’unité sous la forme 𝑧 puissance 12 moins un égale zéro. On va ensuite poser que 𝑛 est égal à huit et 𝑚 est égal à 12. On sait donc qu’il y a un total de 𝑑 racines communes, 𝑑 étant le plus grand commun diviseur de 12 et de huit. Le plus grand commun diviseur de 12 et de huit est quatre. Donc, on peut écrire que 𝑑 est égal à quatre. Cela répond à la question «parmi nos racines combien sont communes?» Mais comment s’y prendrait-on si on souhaitait à présent identifier ces racines? Eh bien, puisqu’on a trouvé que 𝑑 est égal à quatre, on poserait que 𝑧 puissance quatre moins un est égal à zéro. Puis on pourrait dire que les racines communes aux racines huitièmes de l’unité et aux racines 12-ièmes de l’unité sont toutes les racines quatrièmes de l’unité.

Ainsi, en utilisant le principe des racines communes de l’unité, on peut non seulement déterminer le nombre de racines communes entre deux ensembles de racines, mais aussi les identifier. Ici, on nous demandait seulement le nombre de racines communes. On a montré qu’il y en a quatre entre les racines huitièmes et les racines 12-ièmes de l’unité.

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