Transcription de la vidéo
Simplifiez 13 sur 13 plus deux 𝑖.
Dans cette question, nous cherchons à diviser un nombre réel par un nombre complexe. Nous rappelons donc que pour diviser par un nombre complexe, nous écrivons notre division sous forme de fraction, puis nous multiplions le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le conjugué du dénominateur. De plus, nous trouvons le conjugué d’un nombre complexe en changeant le signe de la partie imaginaire. Ainsi, si nous avons un nombre complexe 𝑧 égale à 𝑎 plus 𝑏𝑖, le conjugué, que nous notons 𝑧 barre ou parfois 𝑧 étoile, est 𝑎 moins 𝑏𝑖.
Ici, le nombre complexe par lequel nous divisons est 13 plus deux 𝑖. Nous allons donc multiplier par le conjugué. Nous trouvons cela en changeant le signe de deux 𝑖. Cela signifie que le conjugué est 13 moins deux 𝑖. Nous devons multiplier le numérateur et le dénominateur par ce nombre. Commençons par le faire au dénominateur. Nous allons commencer par multiplier 13 par 13. Cela est égal à 169. Ensuite, nous multiplions 13 par moins deux 𝑖. Nous obtenons moins 26𝑖. Deux 𝑖 fois 13 égale 26𝑖. Et enfin, nous multiplions le dernier terme dans chaque expression. Deux 𝑖 fois moins deux 𝑖 égale moins quatre 𝑖 au carré.
Ensuite, nous repérons que moins 26𝑖 plus 26𝑖 égale zéro. Bien sûr, nous savons aussi que 𝑖 au carré est égal à moins un. Cela se simplifie donc en 169 moins quatre fois moins un. C’est-à-dire 169 plus quatre, soit 173. Nous avons ainsi le dénominateur de notre fraction.
Le numérateur est un peu plus simple. Nous prenons simplement le 13 ici et nous le multiplions par les deux parties de notre nombre complexe. 13 fois 13 égale 169 et 13 fois moins deux 𝑖 égale moins 26𝑖. Nous allons représenter cela en utilisant la forme standard d’un nombre complexe, 𝑎 plus 𝑏𝑖. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 169 sur 173 moins 26 sur 173 𝑖.
