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Vidéo de question : Déterminer le travail effectué par une force sur un corps Mathématiques

Un corps se déplace le long de l’axe des abscisses sous l’action d’une force 𝐹. Étant donné que 𝐹 = 2 / 𝑥 N, où 𝑥 m est le déplacement par rapport à l’origine, détermine le travail effectué sur le corps par 𝐹 lorsque le corps passe de 𝑥 = 2 à 𝑥 = 3. Arrondissez votre réponse au dixième près.

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Transcription de vidéo

Un corps se déplace le long de l’axe des 𝑥 sous l’action d’une force 𝐹. Étant donné que 𝐹 est égal à deux sur 𝑥 newtons, où 𝑥 mètres est le déplacement par rapport à l’origine, déterminez le travail effectué sur le corps par 𝐹 lorsque le corps passe de 𝑥 égal à deux à égal à trois. Arrondissez votre réponse au dixième près.

On commence par rappeler que le travail effectué par une force sur un objet lorsque l’objet se déplace le long d’un chemin parallèle à la force est donnée par 𝑊 est égale à l’intégrale de 𝐹 par rapport à 𝑥, où 𝑊 est le travail effectué et 𝐹 est l’intensité de la force qui agit sur l’objet. Dans cette question, on nous dit que la force 𝐹 est égale à deux sur 𝑥 newtons. Ceci signifie que pour trouver une expression pour le travail effectué, on doit intégrer deux sur 𝑥 par rapport à 𝑥. Vu qu’on doit calculer le travail effectué entre 𝑥 égal à deux et 𝑥 égal à trois, on a bien une intégrale définie avec une limite inférieure deux et une limite supérieure trois.

On peut intégrer notre expression en rappelant l’une de nos intégrales standard. L’intégrale de un sur 𝑥 par rapport à 𝑥 est égale au logarithme népérien de 𝑥 plus la constante d’intégration 𝐶. Ceci signifie que l’intégration de deux sur 𝑥 nous donne deux multiplié par l’algorithme népérien de 𝑥. Comme il s’agit d’une intégrale définie, il n’y aura pas de constante d’intégration. Ensuite, on doit remplacer les valeurs de limites puis trouver la différence entre ces valeurs. Ceci nous donne deux multiplié par le logarithme népérien de trois moins deux multiplié par le logarithme népérien de deux.

On peut simplifier cette expression en rappelant certaines propriétés des logarithmes. Premièrement, 𝑛 multiplié par le logarithme de 𝑥 de base 𝑎 est égal au logarithme de 𝑥 de base à la puissance 𝑛. Ceci signifie que notre expression se simplifie au logarithme népérien de trois au carré moins le logarithme népérien de deux au carré, notant que le logarithme népérien est log en base 𝑒. Trois au carré est égal à neuf, et deux au carré est quatre. Notre expression devient donc le logarithme népérien de neuf moins le logarithme népérien de quatre. Puisque log de 𝑥 de base 𝑎 moins log de 𝑦 de base 𝑎 est égale à log de 𝑥 divisé par 𝑦 de base 𝑎, on peut simplifier notre expression encore une fois. Elle est égale au logarithme népérien de neuf sur quatre.

On nous demande de donner notre réponse au dixième près. Donc en tapant notre expression sur la calculatrice nous donne 0,8109 etc, ce qui arrondit à 0,8. On peut ainsi conclure que le travail effectué sur le corps par 𝐹 lorsque le corps passe de 𝑥 égal à deux à 𝑥 égal à trois est de 0,8 joules au dixième près.

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