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VidĂ©o de la leçon : Translation dans un plan cartĂ©sien Mathématiques

Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre Ă  appliquer la notion de translation Ă  un point ou une figure gĂ©omĂ©trique, et Ă  dĂ©terminer les coordonnĂ©es d’une image par translation dans le plan đ‘„đ‘Š.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidĂ©o, nous allons apprendre comment appliquer la notion de translation Ă  un point ou Ă  une figure gĂ©omĂ©trique, et Ă  dĂ©terminer les coordonnĂ©es d’une image par translation dans le plan đ‘„đ‘Š.

Une translation est un type particulier de transformation qui dĂ©place un objet vers une position diffĂ©rente. L’objet reste de la mĂȘme taille et dans la mĂȘme orientation. La mĂȘme chose vers le haut. L’image est donc identique Ă  l’objet initial, mais Ă  un emplacement diffĂ©rent.

Nous dĂ©crivons les translations en dĂ©crivant les distances horizontales et verticales sur lesquelles l’objet doit se dĂ©placer. Par exemple, nous pourrions dĂ©crire une translation comme Ă©tant de 11 unitĂ©s vers la droite et de 5 unitĂ©s vers le bas. La convention veut que nous dĂ©crivions toujours le mouvement horizontal d’abord, puis le mouvement vertical, tout comme nous donnons toujours la valeur đ‘„ d’abord, puis la valeur 𝑩 lorsque nous Ă©crivons une paire de coordonnĂ©es.

Dans notre premier exemple, nous verrons comment dĂ©crire en mots la translation d’un seul point dans un repĂšre du plan.

Les coordonnĂ©es du point 𝐮 et de son image 𝐮 prime par une translation sont illustrĂ©es sur le graphique ci-dessous. DĂ©crivez cette translation en mots.

La premiĂšre chose Ă  laquelle nous devons ĂȘtre trĂšs attentifs est quel est le point initial et quelle est l’image du point par la translation. Les informations donnĂ©es dans la question nous indiquent que le point 𝐮 est l’objet initial et que le point 𝐮 prime est l’image. Et c’est habituel. Nous utilisons souvent la notation prime pour dĂ©crire l’image d’un point aprĂšs sa translation.

Nous savons que le point 𝐮 a simplement subit une translation. Donc, pour dĂ©crire cette translation en mots, il suffit de dĂ©terminer le nombre d’unitĂ©s par lesquelles le point 𝐮 s’est dĂ©placĂ© dans chaque direction. Nous pouvons voir que le point 𝐮 s’est dĂ©placĂ© vers la droite, tout d’abord, puis vers le haut. Comme l’échelle utilisĂ©e sur chaque axe est d’un carrĂ© pour une unitĂ©, nous pouvons simplement compter les carrĂ©s pour dĂ©terminer de combien d’unitĂ©s l’objet s’est dĂ©placĂ© dans chaque direction.

Le point 𝐮 a Ă©tĂ© dĂ©placĂ© de 12 unitĂ©s vers la droite et de quatre unitĂ©s vers le haut. N’oubliez pas que nous donnons toujours le mouvement horizontal en premier suivi du mouvement vertical. Ainsi, nous pouvons dĂ©crire cette translation en mots comme une translation de 12 unitĂ©s vers la droite et de quatre unitĂ©s vers le haut.

Maintenant, pour Ă©viter le risque de faire des erreurs en comptant beaucoup de carrĂ©s sur un diagramme comme celui-ci, nous pourrions Ă©galement le calculer en soustrayant les coordonnĂ©es de 𝐮 des coordonnĂ©es de 𝐮 prime. Par exemple, pour calculer le nombre d’unitĂ©s horizontales vers la droite, nous pouvons soustraire la coordonnĂ©e đ‘„ de 𝐮 de la coordonnĂ©e đ‘„ de 𝐮 prime, sept moins moins cinq, ce qui est la mĂȘme chose que sept plus cinq, et ça donne 12.

De la mĂȘme maniĂšre, pour calculer le mouvement vertical, nous pouvons soustraire la coordonnĂ©e 𝑩 de 𝐮 de la coordonnĂ©e 𝑩 de 𝐮 prime, un moins moins trois, ce qui Ă©gale quatre. Notre rĂ©ponse au problĂšme est 12 unitĂ©s vers la droite et quatre unitĂ©s vers le haut.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment trouver l’image d’un seul point à la suite d’une translation.

Le point trois, cinq subit une translation de trois vers la droite et trois vers le bas. Quelles sont les coordonnĂ©es de l’image ?

Pour cette question, il n’est pas nĂ©cessaire de tracer un diagramme dĂ©taillĂ© comportant un repĂšre, mais nous pouvons au moins faire un croquis. Nous commençons par le point trois, cinq. Et nous le dĂ©plaçons de trois unitĂ©s vers la droite et de trois unitĂ©s vers le bas pour donner son image, dont nous devons trouver les coordonnĂ©es. Eh bien, une translation de trois unitĂ©s vers la droite, tout d’abord, signifie que la coordonnĂ©e đ‘„ du point va augmenter de trois. Ainsi, la nouvelle coordonnĂ©e đ‘„ de l’image sera la coordonnĂ©e đ‘„ initiale, trois, plus trois.

Une translation de trois unitĂ©s vers le bas signifie que la coordonnĂ©e 𝑩 du point, qui Ă©tait initialement de cinq, diminuera de trois. Ainsi, la coordonnĂ©e 𝑩 de l’image sera cinq moins trois. Cela donne les coordonnĂ©es de l’image du point aprĂšs cette translation comme Ă©tant six, deux.

Nous avons donc vu comment faire la translation d’un seul point. Dans notre exemple suivant, nous verrons comment effectuer une translation d’une figure tracĂ©e sur un repĂšre du plan.

DĂ©crivez la transformation par translation de la figure A en la figure B.

Tout d’abord, prĂ©cisons clairement quelle figure est notre objet et laquelle est notre image. La translation nous amĂšne de la figure A vers la figure B. Donc, la figure A est l’objet et la figure B est l’image. Nous pouvons voir que ce dĂ©placement se fera vers la gauche horizontalement et vers le haut verticalement. Pour calculer le nombre d’unitĂ©s par lesquelles la figure A s’est dĂ©placĂ©e dans chaque direction, nous pouvons choisir une paire de sommets correspondants sur les deux figures et compter ensuite le nombre d’unitĂ©s dĂ©placĂ©es.

En regardant horizontalement, parce que nous dĂ©crivons toujours le mouvement horizontal en premier, nous pouvons voir que la figure A s’est dĂ©placĂ©e de sept unitĂ©s, et c’est vers la gauche. Le dĂ©placement vertical est d’une unitĂ©, et il est vers le haut. Donc, en utilisant des mots, nous pouvons dĂ©crire la translation de la figure A en la figure B comme Ă©tant de sept unitĂ©s vers la gauche et d’une unitĂ© vers le haut. Nous pourrions Ă©galement choisir une autre paire de sommets correspondants sur les deux figures pour vĂ©rifier notre rĂ©ponse, si nous le voulions.

Maintenant, dans tous les exemples que nous avons vus jusqu’à prĂ©sent, nous avons dĂ©crit chacune des translations en utilisant des mots, par exemple, trois unitĂ©s vers la droite et deux unitĂ©s vers le haut. Il existe en fait une abrĂ©viation mathĂ©matique que nous pouvons utiliser pour dĂ©crire les translations. Et on l’appelle un vecteur colonne.

Un vecteur colonne ressemble un peu Ă  une paire de coordonnĂ©es, mais au lieu que les deux valeurs soient l’une Ă  cĂŽtĂ© de l’autre, elles sont l’une au-dessus de l’autre. Le premier nombre dĂ©crit le mouvement horizontal, le nombre d’unitĂ©s desquels l’objet a Ă©tĂ© dĂ©placĂ© vers la droite. Et le deuxiĂšme nombre dĂ©crit le mouvement vertical, le nombre d’unitĂ©s desquels l’objet a Ă©tĂ© dĂ©placĂ© vers le haut.

Donc, dans notre exemple de trois unitĂ©s vers la droite et deux unitĂ©s vers le haut, nous pourrions dĂ©crire cela plus simplement en utilisant le vecteur colonne trois, deux pour indiquer une translation de trois unitĂ©s Ă  droite et deux unitĂ©s vers le haut. Si c’est le cas, comment dĂ©cririons-nous une translation de deux unitĂ©s Ă  gauche et de six unitĂ©s vers le haut ? Eh bien, la partie verticale est simple. Mais qu’en est-il de deux unitĂ©s Ă  gauche ?

Nous avons dit dans notre dĂ©finition que le premier nombre dans le vecteur colonne doit ĂȘtre le nombre d’unitĂ©s vers la droite. Eh bien, nous pouvons penser Ă  cela comme ceci. DĂ©placer deux unitĂ©s vers la gauche est la mĂȘme chose que dĂ©placer moins deux unitĂ©s vers la droite. La convention est que nous prenons les translations vers la droite pour ĂȘtre dans le sens positif car c’est le sens dans lequel les valeurs augmentent. Mais si un objet se dĂ©place vers la gauche, nous pouvons l’exprimer en utilisant une valeur nĂ©gative. Ainsi, la translation de deux unitĂ©s vers la gauche et six unitĂ©s vers le haut pourrait ĂȘtre Ă©crite en utilisant le vecteur colonne moins deux, six.

De la mĂȘme maniĂšre, nous pouvons voir comment traiter une translation dans laquelle le mouvement vertical est vers le bas, comme une translation de cinq unitĂ©s vers la droite et de dix unitĂ©s vers le bas. La partie horizontale, le premier nombre de notre vecteur colonne, sera cinq. Et une translation de 10 unitĂ©s vers le bas peut Ă©galement ĂȘtre considĂ©rĂ©e comme une translation de moins 10 unitĂ©s vers le haut. Ainsi, nous pouvons Ă©crire le deuxiĂšme nombre dans notre vecteur colonne comme moins 10. Une fois de plus, il est important de se rappeler que les translations vers la droite et vers le haut sont considĂ©rĂ©es comme positives parce que ce sont les directions dans lesquelles les nombres augmentent.

Si un objet se dĂ©place vers la gauche ou vers le bas, alors nous Ă©crirons cette partie du vecteur colonne en utilisant une valeur nĂ©gative. Nous pouvons Ă©galement voir des vecteurs colonne Ă©crits avec des crochets. Et la signification est exactement la mĂȘme. Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment nous pouvons dĂ©crire des translations en utilisant cette notation vectorielle.

La figure A est transformĂ©e par translation en la figure B puis en la figure C. Écrivez un vecteur pour reprĂ©senter la translation de la figure A en la figure B. Écrivez un vecteur pour reprĂ©senter la translation de la figure B en la figure C. Écrivez un vecteur pour reprĂ©senter la translation de la figure C en la figure A.

Nous savons qu’une translation est simplement un dĂ©placement ou un mouvement d’un objet d’une position Ă  une autre. Dans chaque partie de cette question, il nous a Ă©tĂ© demandĂ© de dĂ©crire ces translations Ă  l’aide de vecteurs. Nous rappelons que la convention, lors de l’écriture de ce vecteur, est d’écrire d’abord le nombre d’unitĂ©s vers la droite, puis le nombre d’unitĂ©s vers le haut. ConsidĂ©rons donc d’abord la translation de la figure A en la figure B. Et nous utiliserons une paire de sommets correspondants sur les deux figures.

En considĂ©rant le mouvement horizontal, tout d’abord, et en comptant les carrĂ©s, nous pouvons voir que la figure A s’est dĂ©placĂ©e de cinq unitĂ©s vers la gauche. DĂ©placer cinq unitĂ©s vers la gauche Ă©quivaut Ă  dĂ©placer moins cinq unitĂ©s vers la droite. Ainsi, le premier nombre de notre vecteur colonne qui dĂ©crit la translation horizontale est moins cinq. Verticalement, nous voyons ensuite que la figure A a Ă©tĂ© dĂ©placĂ©e de deux unitĂ©s vers le bas. Et une translation de deux unitĂ©s vers le bas Ă©quivaut Ă  une translation de moins deux unitĂ©s vers le haut. Nous pouvons donc mettre le deuxiĂšme nombre de notre vecteur colonne. Le vecteur qui reprĂ©sente la translation de la figure A en la figure B est alors le vecteur colonne moins cinq, moins deux. Et les valeurs nĂ©gatives indiquent que la translation est vers la gauche et vers le bas.

Maintenant, considérons le vecteur qui représente la translation de la figure B en la figure C. Nous pouvons utiliser une différente paire de sommets correspondants cette fois, si nous le voulons. Nous pouvons voir que la direction générale du déplacement ou de la translation de la figure B en la figure C est vers la droite et ensuite vers le bas. Cela signifie que nous avons un nombre positif pour le premier nombre de notre vecteur colonne et un nombre négatif pour le deuxiÚme.

En regardant le mouvement horizontal, on peut tout d’abord voir que ce sommet se dĂ©place de trois unitĂ©s vers la droite. Nous pouvons donc l’exprimer en utilisant le nombre plus trois. En regardant verticalement, nous pouvons voir que la figure se dĂ©place de quatre unitĂ©s vers le bas. Donc, nous l’exprimons par moins quatre. Rappelez-vous que la translation de moins quatre unitĂ©s vers le haut Ă©quivaut Ă  une translation de quatre unitĂ©s vers le bas. Donc, le vecteur qui reprĂ©sente la translation de la figure B en la figure C est le vecteur colonne trois, moins quatre.

Enfin, nous devons Ă©crire le vecteur qui reprĂ©sente la translation de la figure C en la figure A. Et nous choisirons une autre paire de sommets correspondants Ă  utiliser cette fois. La direction du dĂ©placement est ici vers la droite et vers le haut. Ainsi, les deux valeurs de notre vecteur colonne seront positives. En regardant horizontalement, nous voyons tout d’abord que la figure C est dĂ©placĂ©e de deux unitĂ©s vers la droite. Donc, la premiĂšre valeur de notre vecteur colonne est deux. Et puis, en regardant verticalement, nous voyons que la figure C est dĂ©placĂ©e de six unitĂ©s vers le haut. Donc, le vecteur qui reprĂ©sente la translation de la figure C en la figure A est le vecteur colonne deux, six.

Maintenant, nous pouvons observer quelque chose d’intĂ©ressant ici. Nous pourrions trouver le vecteur qui dĂ©crit la translation de la figure A en la figure C en additionnant le vecteur qui dĂ©crit la translation de A en B et ensuite le vecteur qui dĂ©crit la translation de B en C. Si nous faisions cela, puis que nous additionnions les composantes de nos deux vecteurs ensemble, nous trouverions que le vecteur qui reprĂ©sente la translation de A en C est moins deux, moins six. Et nous pouvons voir que c’est la valeur nĂ©gative du vecteur qui reprĂ©sente la translation de C en A.

La raison en c’est que ces deux translations sont Ă  des distances identiques mais dans la direction opposĂ©e. Pour passer de la figure A Ă  la figure C, nous dĂ©plaçons l’objet vers la gauche et vers le bas. Alors que pour passer de la figure C Ă  la figure A, nous le dĂ©plaçons vers la droite et vers le haut. Nous avons nos trois rĂ©ponses Ă  ce problĂšme. Les trois vecteurs sont moins cinq ; moins deux, trois ; moins quatre et deux ; six.

Passons en revue certains des points clĂ©s que nous avons vus dans cette vidĂ©o. Tout d’abord, une translation dĂ©place simplement un objet vers une position diffĂ©rente. L’objet et son image auront toujours la mĂȘme taille et la mĂȘme forme. On peut dire qu’ils sont superposables l’un Ă  l’autre. Et ils seront toujours dans la mĂȘme orientation, ce qui signifie qu’ils sont dans la mĂȘme direction vers le haut.

Une façon de dĂ©crire les translations est d’utiliser des mots. Par exemple, nous pourrions dĂ©crire la translation qui transforme un objet en son image comme une translation de trois unitĂ©s vers la droite et de deux unitĂ©s vers le bas. Nous pouvons Ă©galement dĂ©crire les translations en utilisant des vecteurs colonnes. Nous Ă©crivons d’abord le nombre d’unitĂ©s dĂ©placĂ©es horizontalement vers la droite, puis le nombre d’unitĂ©s dĂ©placĂ©es verticalement vers le haut. Ainsi, la translation de trois unitĂ©s vers la droite et de deux unitĂ©s vers le bas pourrait ĂȘtre exprimĂ©e comme trois, moins deux.

Il est important de retenir ici que les directions vers la droite et vers le haut sont considĂ©rĂ©es comme positives. Donc, si une translation est vers la gauche ou vers le bas, alors elle peut ĂȘtre reprĂ©sentĂ©e dans un vecteur colonne en utilisant une valeur nĂ©gative.

En utilisant ces principes, nous pouvons maintenant effectuer des translations soit de points, soit de figures géométriques tracées sur des repÚres du plan. Et nous pouvons décrire les translations en utilisant soit des mots, soit des vecteurs de colonnes.

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