Vidéo de la leçon: Translation dans un plan cartésien Mathématiques • Sixième primaire

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment appliquer la notion de translation à un point ou à une figure géométrique, et à déterminer les coordonnées d’une image par translation dans le plan 𝑥𝑦.

Une translation est un type particulier de transformation qui déplace un objet vers une position différente. L’objet reste de la même taille et dans la même orientation. La même chose vers le haut. L’image est donc identique à l’objet initial, mais à un emplacement différent.

Nous décrivons les translations en décrivant les distances horizontales et verticales sur lesquelles l’objet doit se déplacer. Par exemple, nous pourrions décrire une translation comme étant de 11 unités vers la droite et de 5 unités vers le bas. La convention veut que nous décrivions toujours le mouvement horizontal d’abord, puis le mouvement vertical, tout comme nous donnons toujours la valeur 𝑥 d’abord, puis la valeur 𝑦 lorsque nous écrivons une paire de coordonnées.

Dans notre premier exemple, nous verrons comment décrire en mots la translation d’un seul point dans un repère du plan.

Les coordonnées du point 𝐴 et de son image 𝐴 prime par une translation sont illustrées sur le graphique ci-dessous. Décrivez cette translation en mots.

La première chose à laquelle nous devons être très attentifs est quel est le point initial et quelle est l’image du point par la translation. Les informations données dans la question nous indiquent que le point 𝐴 est l’objet initial et que le point 𝐴 prime est l’image. Et c’est habituel. Nous utilisons souvent la notation prime pour décrire l’image d’un point après sa translation.

Nous savons que le point 𝐴 a simplement subit une translation. Donc, pour décrire cette translation en mots, il suffit de déterminer le nombre d’unités par lesquelles le point 𝐴 s’est déplacé dans chaque direction. Nous pouvons voir que le point 𝐴 s’est déplacé vers la droite, tout d’abord, puis vers le haut. Comme l’échelle utilisée sur chaque axe est d’un carré pour une unité, nous pouvons simplement compter les carrés pour déterminer de combien d’unités l’objet s’est déplacé dans chaque direction.

Le point 𝐴 a été déplacé de 12 unités vers la droite et de quatre unités vers le haut. N’oubliez pas que nous donnons toujours le mouvement horizontal en premier suivi du mouvement vertical. Ainsi, nous pouvons décrire cette translation en mots comme une translation de 12 unités vers la droite et de quatre unités vers le haut.

Maintenant, pour éviter le risque de faire des erreurs en comptant beaucoup de carrés sur un diagramme comme celui-ci, nous pourrions également le calculer en soustrayant les coordonnées de 𝐴 des coordonnées de 𝐴 prime. Par exemple, pour calculer le nombre d’unités horizontales vers la droite, nous pouvons soustraire la coordonnée 𝑥 de 𝐴 de la coordonnée 𝑥 de 𝐴 prime, sept moins moins cinq, ce qui est la même chose que sept plus cinq, et ça donne 12.

De la même manière, pour calculer le mouvement vertical, nous pouvons soustraire la coordonnée 𝑦 de 𝐴 de la coordonnée 𝑦 de 𝐴 prime, un moins moins trois, ce qui égale quatre. Notre réponse au problème est 12 unités vers la droite et quatre unités vers le haut.

Dans notre exemple suivant, nous verrons comment trouver l’image d’un seul point à la suite d’une translation.

Le point trois, cinq subit une translation de trois vers la droite et trois vers le bas. Quelles sont les coordonnées de l’image ?

Pour cette question, il n’est pas nécessaire de tracer un diagramme détaillé comportant un repère, mais nous pouvons au moins faire un croquis. Nous commençons par le point trois, cinq. Et nous le déplaçons de trois unités vers la droite et de trois unités vers le bas pour donner son image, dont nous devons trouver les coordonnées. Eh bien, une translation de trois unités vers la droite, tout d’abord, signifie que la coordonnée 𝑥 du point va augmenter de trois. Ainsi, la nouvelle coordonnée 𝑥 de l’image sera la coordonnée 𝑥 initiale, trois, plus trois.

Une translation de trois unités vers le bas signifie que la coordonnée 𝑦 du point, qui était initialement de cinq, diminuera de trois. Ainsi, la coordonnée 𝑦 de l’image sera cinq moins trois. Cela donne les coordonnées de l’image du point après cette translation comme étant six, deux.

Nous avons donc vu comment faire la translation d’un seul point. Dans notre exemple suivant, nous verrons comment effectuer une translation d’une figure tracée sur un repère du plan.

Décrivez la transformation par translation de la figure A en la figure B.

Tout d’abord, précisons clairement quelle figure est notre objet et laquelle est notre image. La translation nous amène de la figure A vers la figure B. Donc, la figure A est l’objet et la figure B est l’image. Nous pouvons voir que ce déplacement se fera vers la gauche horizontalement et vers le haut verticalement. Pour calculer le nombre d’unités par lesquelles la figure A s’est déplacée dans chaque direction, nous pouvons choisir une paire de sommets correspondants sur les deux figures et compter ensuite le nombre d’unités déplacées.

En regardant horizontalement, parce que nous décrivons toujours le mouvement horizontal en premier, nous pouvons voir que la figure A s’est déplacée de sept unités, et c’est vers la gauche. Le déplacement vertical est d’une unité, et il est vers le haut. Donc, en utilisant des mots, nous pouvons décrire la translation de la figure A en la figure B comme étant de sept unités vers la gauche et d’une unité vers le haut. Nous pourrions également choisir une autre paire de sommets correspondants sur les deux figures pour vérifier notre réponse, si nous le voulions.

Maintenant, dans tous les exemples que nous avons vus jusqu’à présent, nous avons décrit chacune des translations en utilisant des mots, par exemple, trois unités vers la droite et deux unités vers le haut. Il existe en fait une abréviation mathématique que nous pouvons utiliser pour décrire les translations. Et on l’appelle un vecteur colonne.

Un vecteur colonne ressemble un peu à une paire de coordonnées, mais au lieu que les deux valeurs soient l’une à côté de l’autre, elles sont l’une au-dessus de l’autre. Le premier nombre décrit le mouvement horizontal, le nombre d’unités desquels l’objet a été déplacé vers la droite. Et le deuxième nombre décrit le mouvement vertical, le nombre d’unités desquels l’objet a été déplacé vers le haut.

Donc, dans notre exemple de trois unités vers la droite et deux unités vers le haut, nous pourrions décrire cela plus simplement en utilisant le vecteur colonne trois, deux pour indiquer une translation de trois unités à droite et deux unités vers le haut. Si c’est le cas, comment décririons-nous une translation de deux unités à gauche et de six unités vers le haut ? Eh bien, la partie verticale est simple. Mais qu’en est-il de deux unités à gauche ?

Nous avons dit dans notre définition que le premier nombre dans le vecteur colonne doit être le nombre d’unités vers la droite. Eh bien, nous pouvons penser à cela comme ceci. Déplacer deux unités vers la gauche est la même chose que déplacer moins deux unités vers la droite. La convention est que nous prenons les translations vers la droite pour être dans le sens positif car c’est le sens dans lequel les valeurs augmentent. Mais si un objet se déplace vers la gauche, nous pouvons l’exprimer en utilisant une valeur négative. Ainsi, la translation de deux unités vers la gauche et six unités vers le haut pourrait être écrite en utilisant le vecteur colonne moins deux, six.

De la même manière, nous pouvons voir comment traiter une translation dans laquelle le mouvement vertical est vers le bas, comme une translation de cinq unités vers la droite et de dix unités vers le bas. La partie horizontale, le premier nombre de notre vecteur colonne, sera cinq. Et une translation de 10 unités vers le bas peut également être considérée comme une translation de moins 10 unités vers le haut. Ainsi, nous pouvons écrire le deuxième nombre dans notre vecteur colonne comme moins 10. Une fois de plus, il est important de se rappeler que les translations vers la droite et vers le haut sont considérées comme positives parce que ce sont les directions dans lesquelles les nombres augmentent.

Si un objet se déplace vers la gauche ou vers le bas, alors nous écrirons cette partie du vecteur colonne en utilisant une valeur négative. Nous pouvons également voir des vecteurs colonne écrits avec des crochets. Et la signification est exactement la même. Dans notre dernier exemple, nous allons voir comment nous pouvons décrire des translations en utilisant cette notation vectorielle.

La figure A est transformée par translation en la figure B puis en la figure C. Écrivez un vecteur pour représenter la translation de la figure A en la figure B. Écrivez un vecteur pour représenter la translation de la figure B en la figure C. Écrivez un vecteur pour représenter la translation de la figure C en la figure A.

Nous savons qu’une translation est simplement un déplacement ou un mouvement d’un objet d’une position à une autre. Dans chaque partie de cette question, il nous a été demandé de décrire ces translations à l’aide de vecteurs. Nous rappelons que la convention, lors de l’écriture de ce vecteur, est d’écrire d’abord le nombre d’unités vers la droite, puis le nombre d’unités vers le haut. Considérons donc d’abord la translation de la figure A en la figure B. Et nous utiliserons une paire de sommets correspondants sur les deux figures.

En considérant le mouvement horizontal, tout d’abord, et en comptant les carrés, nous pouvons voir que la figure A s’est déplacée de cinq unités vers la gauche. Déplacer cinq unités vers la gauche équivaut à déplacer moins cinq unités vers la droite. Ainsi, le premier nombre de notre vecteur colonne qui décrit la translation horizontale est moins cinq. Verticalement, nous voyons ensuite que la figure A a été déplacée de deux unités vers le bas. Et une translation de deux unités vers le bas équivaut à une translation de moins deux unités vers le haut. Nous pouvons donc mettre le deuxième nombre de notre vecteur colonne. Le vecteur qui représente la translation de la figure A en la figure B est alors le vecteur colonne moins cinq, moins deux. Et les valeurs négatives indiquent que la translation est vers la gauche et vers le bas.

Maintenant, considérons le vecteur qui représente la translation de la figure B en la figure C. Nous pouvons utiliser une différente paire de sommets correspondants cette fois, si nous le voulons. Nous pouvons voir que la direction générale du déplacement ou de la translation de la figure B en la figure C est vers la droite et ensuite vers le bas. Cela signifie que nous avons un nombre positif pour le premier nombre de notre vecteur colonne et un nombre négatif pour le deuxième.

En regardant le mouvement horizontal, on peut tout d’abord voir que ce sommet se déplace de trois unités vers la droite. Nous pouvons donc l’exprimer en utilisant le nombre plus trois. En regardant verticalement, nous pouvons voir que la figure se déplace de quatre unités vers le bas. Donc, nous l’exprimons par moins quatre. Rappelez-vous que la translation de moins quatre unités vers le haut équivaut à une translation de quatre unités vers le bas. Donc, le vecteur qui représente la translation de la figure B en la figure C est le vecteur colonne trois, moins quatre.

Enfin, nous devons écrire le vecteur qui représente la translation de la figure C en la figure A. Et nous choisirons une autre paire de sommets correspondants à utiliser cette fois. La direction du déplacement est ici vers la droite et vers le haut. Ainsi, les deux valeurs de notre vecteur colonne seront positives. En regardant horizontalement, nous voyons tout d’abord que la figure C est déplacée de deux unités vers la droite. Donc, la première valeur de notre vecteur colonne est deux. Et puis, en regardant verticalement, nous voyons que la figure C est déplacée de six unités vers le haut. Donc, le vecteur qui représente la translation de la figure C en la figure A est le vecteur colonne deux, six.

Maintenant, nous pouvons observer quelque chose d’intéressant ici. Nous pourrions trouver le vecteur qui décrit la translation de la figure A en la figure C en additionnant le vecteur qui décrit la translation de A en B et ensuite le vecteur qui décrit la translation de B en C. Si nous faisions cela, puis que nous additionnions les composantes de nos deux vecteurs ensemble, nous trouverions que le vecteur qui représente la translation de A en C est moins deux, moins six. Et nous pouvons voir que c’est la valeur négative du vecteur qui représente la translation de C en A.

La raison en c’est que ces deux translations sont à des distances identiques mais dans la direction opposée. Pour passer de la figure A à la figure C, nous déplaçons l’objet vers la gauche et vers le bas. Alors que pour passer de la figure C à la figure A, nous le déplaçons vers la droite et vers le haut. Nous avons nos trois réponses à ce problème. Les trois vecteurs sont moins cinq ; moins deux, trois ; moins quatre et deux ; six.

Passons en revue certains des points clés que nous avons vus dans cette vidéo. Tout d’abord, une translation déplace simplement un objet vers une position différente. L’objet et son image auront toujours la même taille et la même forme. On peut dire qu’ils sont superposables l’un à l’autre. Et ils seront toujours dans la même orientation, ce qui signifie qu’ils sont dans la même direction vers le haut.

Une façon de décrire les translations est d’utiliser des mots. Par exemple, nous pourrions décrire la translation qui transforme un objet en son image comme une translation de trois unités vers la droite et de deux unités vers le bas. Nous pouvons également décrire les translations en utilisant des vecteurs colonnes. Nous écrivons d’abord le nombre d’unités déplacées horizontalement vers la droite, puis le nombre d’unités déplacées verticalement vers le haut. Ainsi, la translation de trois unités vers la droite et de deux unités vers le bas pourrait être exprimée comme trois, moins deux.

Il est important de retenir ici que les directions vers la droite et vers le haut sont considérées comme positives. Donc, si une translation est vers la gauche ou vers le bas, alors elle peut être représentée dans un vecteur colonne en utilisant une valeur négative.

En utilisant ces principes, nous pouvons maintenant effectuer des translations soit de points, soit de figures géométriques tracées sur des repères du plan. Et nous pouvons décrire les translations en utilisant soit des mots, soit des vecteurs de colonnes.