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Déterminez l’équation de la tangente à la courbe d’équation 𝑦 au carré égale 𝑥 puissance quatre en le point de coordonnées moins un, un.
Dans cette question, on nous a demandé de trouver l’équation d’une tangente à une courbe. Nous commençons donc par rappeler l’équation d’une droite. Pour une droite qui passe par le point 𝑥 un, 𝑦 un avec un coefficient directeur 𝑚, son équation est 𝑦 moins 𝑦 un égale 𝑚 fois 𝑥 moins 𝑥 un. Nous savons que le point par lequel passe la tangente est moins un, un. Cependant, quel est son coefficient directeur ? Bien, le coefficient directeur de la tangente à une courbe se trouve en dérivant la fonction puis en l’évaluant au point moins un, un.
Nous devrons cependant faire un peu attention à la façon dont nous dérivons notre fonction. Il pourrait être tentant de prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation, pour obtenir 𝑦 égale 𝑥 au carré. Le problème est que, si nous faisons cela, nous devons traiter à la fois la racine carrée positive et la racine carrée négative de 𝑥 puissance quatre. Au lieu de cela, nous allons utiliser un processus appelé dérivation implicite. En dérivation implicite, nous utilisons la règle de dérivation en chaîne. Nous disons que la dérivée par rapport à 𝑥 d’une fonction de 𝑦 est égale à la dérivée de cette fonction par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥.
Alors, prenons notre équation 𝑦 au carré égale 𝑥 puissance quatre. Nous voulons dériver les deux côtés de cette équation par rapport à 𝑥. Bien, la règle de dérivation implicite dit que la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑥 est la dérivée de 𝑦 au carré par rapport à 𝑦 fois d𝑦 sur d𝑥. Alors, lorsque nous dérivons 𝑦 au carré, nous multiplions le terme entier par deux, puis réduisons l’exposant par un. Nous obtenons donc deux 𝑦. Nous voyons que le côté gauche est alors deux 𝑦 d𝑦 sur d𝑥.
La dérivée de 𝑥 puissance quatre par rapport à 𝑥 est quatre 𝑥 au cube. Une fois de plus, nous multiplions le terme entier par quatre, puis réduisons cet exposant par un pour obtenir trois. Si nous isolons alors d𝑦 sur d𝑥 en divisant par deux 𝑦, nous obtenons d𝑦 sur d𝑥 égale quatre 𝑥 cube sur deux 𝑦. Nous avons maintenant une expression pour la dérivée en fonction de 𝑥 et 𝑦.
Bien sûr, nous avons dit que pour trouver l’équation de la tangente, nous devons connaître son coefficient directeur. Nous pouvons trouver le coefficient directeur en évaluant la dérivée au point qui nous intéresse. Il s’agit ici de moins un, un. Bien sûr, moins un, un est le point dont l’abscisse est moins un et l’ordonnée un. Ainsi, nous constatons que la dérivée au point moins un, un est quatre fois moins un au cube sur deux fois un. Nous voyons que le coefficient directeur 𝑚 est alors moins deux.
Nous connaissons maintenant le coefficient directeur de la tangente à la courbe et un point qu’elle traverse. Remplaçons donc tout ce que nous avons dans notre équation de droite. Lorsque nous faisons cela, nous obtenons 𝑦 moins un égale moins deux fois 𝑥 moins moins un. 𝑥 moins moins un égale 𝑥 plus un. Nous développons les parenthèses au côté droit en multipliant chaque terme par moins deux. Nous obtenons alors 𝑦 moins un égale moins deux 𝑥 moins deux.
Notre dernière étape consiste à réorganiser en ajoutant un des deux côtés. Lorsque nous faisons cela, nous nous rendons compte que nous avons trouvé l’équation de la tangente à la courbe au point moins un, un. Il s’agit de 𝑦 égale moins deux 𝑥 moins un.
