Transcription de la vidéo
Déterminez l’expression de la dérivée troisième de la fonction définie par 𝑦 égale 44𝑥 fois sinus de deux 𝑥.
La question nous demande de trouver la dérivée troisième de notre fonction. Puisque nous voulons trouver la dérivée troisième de notre fonction par rapport à 𝑥, nous devons la dériver trois fois par rapport à 𝑥. Commençons par trouver la dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Il s’agit de la dérivée de 44𝑥 fois sinus de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons voir qu’il s’agit de la dérivée du produit de deux fonctions. Soit le produit de 44𝑥 et de sinus de deux 𝑥. Nous allons donc dériver cela en utilisant la règle de dérivation d’un produit.
La règle de dérivation d’un produit nous dit que la dérivée du produit de deux fonctions 𝑢 et 𝑣 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. Ainsi, pour évaluer notre dérivée, nous allons poser 𝑢 égale 44𝑥 et 𝑣 égale sinus de deux 𝑥. Pour appliquer la règle de dérivation d’un produit, nous devons trouver des expressions pour d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de 44𝑥 par rapport à 𝑥. Soit une fonction linéaire en fonction de 𝑥. Ainsi, sa dérivée est juste le coefficient de 𝑥, qui dans ce cas est 44.
Trouvons maintenant une expression pour d𝑣 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de sinus de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous savons dériver cela en utilisant l’un de nos résultats standards de dérivées de fonctions trigonométriques. Pour toute constante réelle 𝑎, la dérivée de sinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à 𝑎 fois cosinus de 𝑎𝑥. En appliquant cela, nous obtenons d𝑣 sur d𝑥 égale deux fois cosinus de deux 𝑥. Nous sommes maintenant prêts à appliquer la règle de dérivation d’un produit pour trouver d𝑦 sur d𝑥. Cela est égal à 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥.
En remplaçant par nos expressions pour 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥, nous obtenons sinus de deux 𝑥 fois 44 plus 44𝑥 fois deux fois cosinus de deux 𝑥. Ensuite, nous simplifions et réorganisons cette expression. Nous obtenons 44 sinus de deux 𝑥 plus 88𝑥 cos de deux 𝑥. Rappelez-vous, nous voulons trouver la troisième dérivée de 𝑦 par rapport à 𝑥 en dérivant notre expression trois fois. Alors déterminons maintenant notre dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥. Il s’agit de la dérivée de notre dérivée première de 𝑦 par rapport à 𝑥. Nous obtenons l’expression suivante. Nous voyons que nous pouvons dériver le premier terme en utilisant notre résultat de dérivée de fonction trigonométrique.
Cependant, le deuxième terme que nous devons dériver est le produit de deux fonctions. Nous allons donc devoir utiliser à nouveau la règle de dérivation d’un produit. Cette fois, nous posons 𝑢 égale 88𝑥 et 𝑣 égale cosinus de deux 𝑥. Nous devons trouver des expressions pour d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de 88𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, ceci est une fonction linéaire. Ainsi, sa dérivée est le coefficient de 𝑥, qui, dans ce cas, est 88.
Trouvons maintenant une expression pour d𝑣 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de cosinus de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, nous pouvons évaluer cette dérivée en utilisant l’un de nos résultats standards de dérivées de fonctions trigonométriques. Pour toute constante 𝑎, la dérivée de cosinus de 𝑎𝑥 par rapport à 𝑥 est égale à moins 𝑎 fois sinus de 𝑎𝑥. En appliquant cela, on obtient d𝑣 sur d𝑥 égale moins deux fois sinus de deux 𝑥. Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥.
Tout d’abord, nous allons dériver notre premier terme, 44 fois sinus de deux 𝑥, pour obtenir 88 fois cosinus de deux 𝑥. Ensuite, nous voulons dériver notre second terme en utilisant la règle de dérivation d’un produit. C’est-à-dire 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥. Nous remplaçons par nos expressions pour 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Nous obtenons que la dérivée seconde de 𝑦 par rapport à 𝑥 est égale à 88 fois cosinus de deux 𝑥 plus cosinus de deux 𝑥 fois 88 plus 88𝑥 fois moins deux fois sinus de deux 𝑥. Nous pouvons alors simplifier cette expression pour obtenir 176 fois cosinus de deux 𝑥 moins 176𝑥 sinus de deux 𝑥.
La dernière chose que nous devons faire est de dériver cette expression pour trouver notre dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥. Faisons donc un peu de place afin de trouver notre dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥. Il s’agit de la dérivée de 176 cosinus de deux 𝑥 moins 176𝑥 sinus de deux 𝑥 par rapport à 𝑥.
Encore une fois, nous voulons évaluer cette dérivée terme par terme. Nous pouvons évaluer la dérivée de notre premier terme en utilisant notre résultat de dérivée de fonction trigonométrique. Pour évaluer la dérivée de notre second terme, nous remarquons encore qu’il s’agit d’un produit de deux fonctions. Ainsi, pour évaluer la dérivée de notre second terme, nous allons utiliser la règle de dérivation d’un produit. Nous allons poser 𝑢 égale 176𝑥 et 𝑣 égale sinus de deux 𝑥. Pour utiliser la règle de dérivation d’un produit, nous avons besoin d’expressions pour d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥. Commençons par d𝑢 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de 176𝑥 par rapport à 𝑥. Encore une fois, ceci est une fonction linéaire. Ainsi, sa dérivée est juste le coefficient de 𝑥 qui, dans ce cas, est 176.
Nous voulons maintenant trouver une expression pour d𝑣 sur d𝑥. Il s’agit de la dérivée de sinus de deux 𝑥 par rapport à 𝑥. Nous pouvons évaluer cela en utilisant notre autre résultat standard de dérivée de fonction trigonométrique. En appliquant cela, nous obtenons d𝑣 sur d𝑥 égale deux fois cosinus de deux 𝑥. Nous sommes maintenant prêts à trouver une expression pour d trois 𝑦 sur d𝑥 cube. Tout d’abord, dérivons le premier terme. Dériver cela nous donne moins deux fois 176 fois sinus de deux 𝑥, soit moins 352 sinus de deux 𝑥. Nous voulons ensuite soustraire la dérivée de notre second terme, qui, selon la règle de dérivation d’un produit, est 𝑣 fois d𝑢 sur d𝑥 plus 𝑢 fois d𝑣 sur d𝑥.
En remplaçant par nos expressions pour 𝑢, 𝑣, d𝑢 sur d𝑥 et d𝑣 sur d𝑥, nous avons la dérivée troisième de 𝑦 par rapport à 𝑥 égale moins 352 sinus de deux 𝑥 moins sinus de deux 𝑥 fois 176 plus 176𝑥 fois deux fois cosinus de deux 𝑥. Ensuite, nous simplifions et réorganisons cette expression. Nous obtenons moins 528 sinus de deux 𝑥 moins 352𝑥 fois cosinus de deux 𝑥. Enfin, nous réorganisons nos termes par ordre décroissant de puissances de 𝑥.
Par conséquent, nous avons montré que la fonction 𝑦 égale 44𝑥 fois sinus de deux 𝑥 a une dérivée troisième égale à moins 352𝑥 cosinus de deux 𝑥 moins 528 sinus deux 𝑥.
