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Déterminez, sans utiliser de calculatrice, la valeur de sinus deux 𝐴, sachant que tangente 𝐴 égale moins cinq sur 12 avec 𝐴 est strictement supérieur à trois 𝜋 sur deux et strictement inférieur à deux 𝜋.
Nous commençons cette question en rappelant l’une de nos formules à angle double. Le sinus de deux 𝐴 est égal à deux sinus 𝐴 cosinus 𝐴. Comme on nous donne la valeur de tangente 𝐴, nous pouvons calculer sinus 𝐴 et cosinus 𝐴 en utilisant notre cercle trigonométrique et aussi notre connaissance des triplets de Pythagore.
En utilisant notre cercle trigonométrique, nous voyons que les angles entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋 sont dans le quatrième quadrant. Dans ce quadrant, notre valeur de cosinus 𝜃 est positive, tandis que nos valeurs de sinus 𝜃 et de tangente 𝜃 sont négatives. L’un de nos triplets pythagoriciens est cinq, 12, 13, car cinq au carré plus 12 au carré égale 13 au carré. On nous dit que tangente de 𝐴 égale moins cinq sur 12. Cela signifie que le côté opposé à l’angle 𝐴 est égal à cinq. Le côté adjacent à l’angle 𝐴 est égal à 12.
En trigonométrie des triangles rectangles, le sinus d’un angle est égal à l’opposé sur l’hypoténuse. Ainsi, sinus 𝐴 égale cinq sur 13. Le cosinus d’un angle est égal à l’adjacent sur l’hypoténuse, dans le cas présent, 12 sur 13. La tangente de 𝐴, comme déjà mentionné, est cinq sur 12.
En utilisant ces deux informations, dans cette question, le sinus de 𝐴 est égal à moins cinq sur 13. Comme nous savons que le cosinus de notre angle est positif entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋, alors cosinus de 𝐴 égale 12 sur 13. Remplacer ces valeurs dans la formule nous donne sinus de deux 𝐴 égale deux multiplié par moins cinq sur 13 multiplié par 12 sur 13. Moins cinq multiplié par 12 égale moins 60. 13 multiplié par 13, ou 13 au carré, égale 169. Multiplier moins 60 sur 169 par deux nous donne moins 120 sur 169.
Le sinus de deux 𝐴 est égal à moins 120 sur 169 lorsque tangente 𝐴 égale moins cinq sur 12 et que 𝐴 se situe entre trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋.
