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Vidéo de question : Trouver le centre de masse des quatre particules Mathématiques

Quatre particules de masses 9 kg, 10 kg, 4 kg et 7 kg sont placées sur l’axe des 𝑥 aux points respectifs (4, 0), (3, 0), (8, 0) et (1, 0). Quelle est la position du centre de masse des quatre particules?

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Transcription de vidéo

Quatre particules de masses de neuf kilogrammes, 10 kilogrammes, quatre kilogrammes et sept kilogrammes sont placées sur l’axe des abscisses aux points quatre, zéro; trois, zéro; huit, zéro; et un, zéro, respectivement. Quelle est la position du centre de masse des quatre particules?

Dans cette question, on a quatre particules qui se trouvent sur l’axe des 𝑥. On nous dit que la première avec une masse de neuf kilogrammes est au point quatre, zéro. La deuxième de 10 kilogrammes est à trois, zéro. Et la troisième et la quatrième masse de quatre kilogrammes et de sept kilogrammes sont respectivement à huit, zéro et un, zéro. Afin de calculer le centre de masse de ces quatre particules, on utilise la formule qui donne le vecteur position du centre de masse. On obtient ce vecteur position, qu’on appelle 𝐑, en calculant la somme de la masse de chaque particule multipliée par son vecteur position, divisé par 𝑀, où 𝑀 est la masse totale du système des particules.

Pour cette question, on va prendre chaque masse, la multiplier par son vecteur de position, les additionner, puis diviser par la somme des quatre masses. On a remarqué qu’on nous donne des coordonnées au lieu des vecteurs positions. La première chose qu’on va faire est de transformer chaque coordonnée en un vecteur position. Ainsi, la coordonnée un, zéro est un 𝐢 plus zéro 𝐣. La coordonnée trois, zéro est trois 𝐢 plus zéro 𝐣. Quatre, zéro est quatre 𝐢 plus zéro 𝐣. Et huit, zéro est huit 𝐢 plus zéro 𝐣. On peut également calculer la masse totale. C’est bien neuf plus 10 plus quatre plus sept, ce qui fait 30 kilogrammes.

Ensuite, substituons ces valeurs dans la formule. La masse de chaque particule multipliée par son vecteur de position peut être ajoutée dans n’importe quel ordre. Ici, on écrit dans l’ordre sept, 10, neuf et quatre kilogrammes. Cependant, l’on peut également utiliser l’ordre donné dans la question, c’est-à-dire neuf, 10, quatre et sept multiplié par chacun de leurs vecteurs position. Donc on a que le vecteur position 𝐑 est égal à un sur 30 fois sept fois un 𝐢 plus zéro 𝐣 plus 10 fois trois 𝐢 plus zéro 𝐣 plus neuf fois quatre 𝐢 plus zéro 𝐣 plus quatre fois huit 𝐢 plus zéro 𝐣. Évidemment, on n’a pas besoin d’inclure tous ces zéro 𝐣, mais il est utile de voir comment cette formule peut être appliquée dans un contexte différent lorsque les masses ne sont pas sur l’axe des abscisses.

La prochaine étape est de simplifier les masses multipliées par leurs vecteurs position. Lorsqu’on fait cela, le côté droit de notre équation se simplifie en un sur 30 fois sept 𝐢 plus 30𝐢 plus 36𝐢 plus 32𝐢. Cela équivaut à un sur 30 fois 105𝐢. La division de 105𝐢 par 30 nous donne sept sur deux 𝐢, ou 3,5𝐢. Dans cette question, on nous demande la position du centre de masse, et ce qu’on a ici est un vecteur position. En tant que coordonnées, on peut également écrire le vecteur position 3,5𝐢 comme les coordonnées 3,5, zéro car on sait bien que 3,5𝐢 est égal à 3,5𝐢 plus zéro 𝐣. Par conséquent, les coordonnées du centre de masse de ces quatre particules sont 3,5, zéro.

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