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Vidéo de question : Former des équations du second degré sous la forme la plus simple en utilisant la relation entre elles et leurs racines Mathématiques

Si 𝐿 et 𝑀 sont des racines de l’équation 𝑥² - 19𝑥 + 9 = 0, déterminez, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 - 2 et 𝑀 - 2.

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Transcription de vidéo

Si 𝐿 et 𝑀 sont des racines de l’équation 𝑥 au carré moins 19𝑥 plus neuf égale zéro, déterminez, sous sa forme la plus simple, l’équation du second degré dont les racines sont 𝐿 moins deux et 𝑀 moins deux.

Avant de commencer à résoudre ce problème, prenons une grande inspiration. Cela va vraiment être méticuleux, mais allons-y malgré tout ! 𝑥 au carré moins 19𝑥 plus neuf égale zéro est notre équation et nous avons besoin des racines de cette équation. Lorsque nous regardons les valeurs neuf et moins 19, nous réalisons que l’équation n’a pas de solution factorisée simple. Nous devons ici utiliser une formule pour trouver les racines : moins 𝑏 plus ou moins racine carrée de 𝑏 au carré moins quatre 𝑎𝑐, le tout sur deux 𝑎.

Le coefficient 𝑎 est le coefficient de 𝑥 au carré ; dans le cas présent, il s’agit de un. Le coefficient 𝑏 est le coefficient de 𝑥, soit moins 19. 𝑐 est la valeur constante, neuf. Nous allons remplacer cela. Moins 𝑏 est moins moins 19, soit plus 19, plus ou moins racine carrée de moins 19 au carré, le quatre 𝑎𝑐 devient quatre fois un fois neuf, le tout sur deux fois un. Moins 19 au carré égale 361, moins 36. Puis, nous allons diviser séparément chacun de ces termes par deux.

Pour simplifier encore plus, 19 sur deux plus ou moins racine carrée de 325 sur deux. Nous pouvons simplifier la racine carrée de 325, mais cela n’est pas nécessaire. Pour l’instant, laissons cela tel quel, racine carrée de 325 sur deux. Rappelez-vous que nous allons appeler les racines de cette équation 𝐿 et 𝑀. Nous allons poser 𝐿 égale 19 sur deux plus racine carrée de 325 sur deux. Cela fait de 𝑀 19 sur deux moins racine carrée de 325 sur deux.

Maintenant, nous en avons terminé avec cette première équation. Cependant, nous voulons utiliser cette information, utiliser les racines 𝐿 et 𝑀, pour nous aider à écrire un nouveau polynôme : 𝐿 moins deux égale 19 sur deux plus racine carrée de 325 sur deux moins deux. Pour résoudre cela, écrivons le nombre entier deux sous forme de fraction. Le nombre entier deux écrit sous forme de fraction est égal à quatre sur deux. Nous allons simplement réécrire l’équation pour regrouper les termes similaires. 19 moins quatre égale 15, ce qui fait que 𝐿 moins deux égale 15 sur deux plus racine carrée de 325 sur deux.

Nous devons faire la même chose avec 𝑀. 19 sur deux moins racine carrée de 325 sur deux moins quatre sur deux. Regroupons pour avoir 19 sur deux moins quatre sur deux moins racine carrée de 325 sur deux. Cela donne 𝑀 moins deux égale 15 sur deux moins racine carrée de 325 sur deux. Nos nouvelles racines, nos nouvelles valeurs 𝑥 ressemblent à ceci. Mais rappelez-vous, lorsque nous cherchons un polynôme, nous devons définir des facteurs nuls pour ces racines.

Continuons ici avec notre racine 𝐿 moins deux. Nous allons soustraire 15 sur deux et racine carrée de 325 sur deux des deux côtés de l’équation. Du côté droit, tout s’annule, nous donnant zéro. Sur le côté gauche, nous avons 𝑥 moins 15 sur deux moins racine carrée de 325 sur deux. Nous allons garder ce terme ici pour le moment pendant que nous traitons le terme de gauche. Nous allons soustraire 15 sur deux des deux côtés de l’équation. Après avoir fait cela, nous allons avoir l’équation 𝑥 moins 15 sur deux égale moins racine carrée de 325 sur deux.

Rappelez-vous que nous essayons de définir un facteur égal à zéro. Si nous ajoutons racine carrée de 325 sur deux au côté gauche et au côté droit, le côté droit est égal à zéro et le côté gauche est égal à 𝑥 moins 15 sur deux plus racine carrée de 325 sur deux. Maintenant, si nous prenons simplement ces deux termes entre parenthèses et les écrivons côte à côte, cela donne le polynôme du second degré dont les racines sont 𝐿 moins deux et 𝑀 moins deux. Cependant, il n’est pas sous sa forme la plus simple. Cela signifie que nous avons encore du chemin à faire.

Nous allons effacer une partie pour faire plus de place. Vous pouvez pauser la vidéo maintenant et copier cela si vous souhaitez le revoir plus tard. Nous allons faire à présent prendre les deux termes entre parenthèses et les multiplier. Nous voulons multiplier 𝑥 moins 15 sur deux moins racine carrée de 325 sur deux par 𝑥 moins 15 sur deux plus racine carrée de 325 sur deux. C’est compliqué à prononcer! Mais nous allons faire comme d’habitude : nous allons développer par double distribution

Premièrement, 𝑥 fois 𝑥 égale 𝑥 au carré. Puis, 𝑥 fois moins 15 sur deux égale moins 15 sur deux 𝑥. Puis, 𝑥 fois racine carrée de 325 sur deux égale racine carrée de 325 sur deux 𝑥. Maintenant, nous allons passer à notre terme moins 15 sur deux, moins 15 sur deux 𝑥, puis moins 15 sur deux fois moins 15 sur deux, nous allons juste écrire cela comme moins 15 sur deux au carré pour le moment. Moins 15 sur deux fois racine carrée de 325 sur deux. Avant de continuer, nous allons faire un peu plus de place sur la droite.

Alors, pour ce terme, nous n’allons pas tout multiplier. Nous verrons pourquoi dans un instant. Nous allons le laisser sous la forme 15 fois racine carrée de 325 sur deux fois deux. Nous allons maintenant passer à ce dernier terme, moins racine carrée de 325 sur deux 𝑥. Cette fois, nous avons moins 15 sur deux fois moins racine carrée de 325 sur deux. Enfin, moins racine carrée de 325 sur deux fois racine carrée de 325 sur deux. Maintenant, nous avons quelques simplifications à faire.

Notre 𝑥 carré est bon. Le moins 15 sur deux 𝑥 peut être ajouté au moins 15 sur deux 𝑥. Cela donne moins 30 sur deux 𝑥. Nous allons les barrer. Le terme suivant est racine carrée de 325 sur deux 𝑥, c’est un terme positif, puis le terme négatif, moins racine carrée de 325 sur deux 𝑥. Ces termes s’annulent. Le terme suivant, moins 15 sur deux au carré. Moins 15 au carré égale 225. Deux au carré égale quatre. Nous en avons fini avec ce terme. Le terme suivant, moins 15 sur deux fois racine carrée de 325 sur deux et moins 15 sur deux fois moins racine carrée de 325 sur deux.

Ces termes sont opposés. Celui de droite est positif; celui de gauche est négatif. Ils s’annulent. Notre terme final, moins racine carrée de 325 sur deux fois racine carrée de 325 sur deux. Positif fois négatif donne négatif. Racine carrée de 325 fois racine carrée de 325 égale 325 et deux fois deux égale quatre. Pouvons-nous simplifier cela davantage? Bien, nous pouvons simplifier moins 30 sur deux. Moins 30 sur deux donne 15𝑥. 225 sur quatre moins 325 sur quatre égale moins 100 sur quatre. 100 divisé par quatre égale 25.

Notre nouveau polynôme que nous avons déterminé est 𝑥 au carré moins 15𝑥 moins 25. Le polynôme dont les racines sont 𝐿 moins deux et 𝑀 moins deux dans sa forme la plus simple est 𝑥 au carré moins 15𝑥 moins 25. Mais si vous vous demandez comment nous avons trouvé cela, alors laissez-moi vous encourager. Regardez cette vidéo de nouveau, puis essayez de résoudre le problème par vous-même. Écrivez simplement chacune de ces étapes. Nous n’avons quasiment fait que de l’algèbre de base, mais nous avons manipulé des termes très difficiles en raison de ces racines carrées. Cependant les étapes sont toujours les mêmes, même lorsque vous travaillez avec des nombres irrationnels. Vous aussi vous pouvez le faire!

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