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Quelles fonctions, parmi les suivantes, sont égales ?
On nous a donné cinq paires de fonctions rationnelles à considérer. Pour chaque option, la fonction 𝑛 indice un est égale à un sur 𝑥. Pour commencer, rappelons les conditions requises pour que deux fonctions rationnelles soient considérées comme égales.
La première condition pour que 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux soient égales est que leur ensemble de définition soient égaux. En général, l’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels privé de l’ensemble contenant les zéros au dénominateur. Cela signifie que pour que 𝑛 indice un et 𝑛 indice deux aient des domaines égaux, ils doivent avoir les mêmes zéros au dénominateur. La deuxième condition est que 𝑛 indice un doit être équivalent à 𝑛 indice deux sur leur ensemble de définition commun. Les fonctions équivalentes se simplifient pour donner la même expression.
En résumé, pour montrer que deux fonctions sont égales, elles doivent avoir le même ensemble de définition et se simplifier en la même expression.
Faisons de la place pour résoudre ce problème. Tout d’abord, nous allons trouver l’ensemble de définition de la fonction 𝑛 indice un. L’ensemble de définition d’une fonction rationnelle est l’ensemble de tous les nombres réels privé de l’ensemble contenant les zéros du dénominateur. Nous trouvons les zéros ou les solutions du dénominateur en le fixant à zéro et en résolvant pour 𝑥. Dans ce cas, 𝑥 est égal au nombre réel zéro. Ainsi, l’ensemble de définition de 𝑛 indice un est l’ensemble de tous les nombres réels privé de l’ensemble contenant zéro.
Maintenant, nous allons examiner la première fonction 𝑛 indice deux, qui est égale à 𝑥 moins 53 sur 𝑥 carré moins 53𝑥. Nous fixons le dénominateur à zéro pour trouver l’ensemble des nombres réels à exclure de l’ensemble de définition. Pour résoudre 𝑥, nous allons factoriser l’expression du second degré 𝑥 au carré moins 53𝑥. Les facteurs sont 𝑥 et 𝑥 moins 53. Ensuite, nous définissons chaque facteur égal à zéro et nous résolvons, ce qui nous donne deux solutions : zéro et 53. Ce sont les valeurs à exclure de notre ensemble de définition. Ainsi, l’ensemble de définition de la fonction 𝑛 indice deux donnée dans l’option (A) est l’ensemble de tous les nombres réels privé de l’ensemble contenant zéro et 53. L’ensemble de définition de 𝑛 indice un n’exclut pas le nombre 53, nous éliminons donc l’option (A) car les ensembles de définition ne sont pas égaux.
Cependant, si nous avions d’abord simplifié la fonction 𝑛 indice deux, nous aurions pu nous attendre à ce qu’elle soit égale à 𝑛 indice un. La fonction 𝑛 indice deux se simplifie en un sur 𝑥, mais cela ne la rend pas égale à la fonction 𝑛 indice un car les ensembles de définition ne sont pas les mêmes.
Passons à l’option (B) et fixons à nouveau le dénominateur à zéro. Ensuite, nous factorisons l’expression cubique 𝑥 au cube moins 53𝑥. Nous fixons les deux facteurs, 𝑥 et 𝑥 au carré moins 53, égaux à zéro. Cela conduit à trois solutions réelles : zéro, racine carrée de 53 et moins racine carrée de 53. Ce sont les nombres réels exclus du domaine. Cela ne correspond pas à l’ensemble de définition de la fonction 𝑛 indice un, nous éliminons donc l’option (B). Nous pouvons montrer que la fonction 𝑛 indice deux de l’option (B) est égale à un sur 𝑥, mais cela ne change pas notre conclusion.
Ensuite, nous trouvons l’ensemble de définition de la fonction 𝑛 indice deux dans l’option (C). Nous factorisons le dénominateur et fixons chacun de ces facteurs à zéro. Nous avons 𝑥 est égal à zéro et 𝑥 au carré plus 53 est égal à zéro. Lorsque nous résolvons la deuxième équation, nous trouvons la racine carrée positive et négative de moins 53, qui n’a pas de valeurs réelles. Par conséquent, la seule valeur numérique éliminée de notre domaine est zéro. Cela signifie que nous avons trouvé une fonction 𝑛 indice deux avec le même ensemble de définition que notre fonction 𝑛 indice un. Cependant, nous devons toujours vérifier la deuxième condition relative à l’égalité des fonctions.
Nous réécrivons le dénominateur de la fonction 𝑛 indice deux dans sa forme factorisée. Nous remarquons que le numérateur et le dénominateur partagent le facteur 𝑥 au carré plus 53, nous simplifions donc. Cela nous laisse avec l’expression simplifiée un sur 𝑥. Nous venons de montrer que ces deux fonctions sont égales car leur ensemble de définition sont égaux et la fonction 𝑛 indice deux se simplifie en une expression égale à la fonction 𝑛 indice un.
Vérifions les deux dernières paires de fonctions.
Pour l’option (D), nous définissons le dénominateur de la fonction 𝑛 indice deux égal à zéro. La seule valeur de 𝑥 qui satisfait l’équation 𝑥 au carré égale zéro est le nombre réel zéro. Cela signifie que nous avons trouvé que l’ensemble de définition de 𝑛 indice deux est le même que celui de 𝑛 indice un, soit l’ensemble de tous les nombres réels privé de l’ensemble contenant zéro.
Le problème avec l’option (D) se produit lorsque nous simplifions la fonction 𝑛 indice deux. La factorisation du numérateur est 𝑥 fois 𝑥 plus 53. La factorisation du dénominateur est 𝑥 fois 𝑥. Les facteurs communs en 𝑥 s’annulent, ce qui nous laisse avec l’expression simplifiée 𝑥 plus 53 sur 𝑥. Cependant, cette expression simplifiée n’est pas équivalente à l’expression de 𝑛 indice un. Ainsi, même si les ensembles de définition sont égaux, nous devons tout de même éliminer l’option (D).
Enfin, nous considérons l’option (E). Nous trouvons que le dénominateur de 𝑥 au carré plus 53𝑥 a deux zéros réels : moins 53 et zéro. Ces deux valeurs sont exclues de l’ensemble de définition, ce qui rend ce dernier plus restrictif que le domaine de 𝑛 moins un. Nous pouvons montrer que l’expression simplifie à un sur 𝑥. Seulement, les ensembles de définition ne sont pas égaux, nous éliminons donc cette option de toute façon.
En conclusion, les deux fonctions données dans l’option (C) sont égales, du fait qu’elles ont le même ensemble de définition et se simplifient en la même expression.
