Transcription de la vidéo
Déterminez le point d’intersection des plans moins cinq 𝑥 moins deux 𝑦 plus six 𝑧 moins un est égal à zéro, moins sept 𝑥 plus huit 𝑦 plus 𝑧 moins six est égal à zéro et 𝑥 moins trois 𝑦 plus trois 𝑧 plus 11 est égal à zéro.
Les trois équations décrivent trois plans dans l’espace. En général, mais pas toujours, trois plans dans l’espace se croisent en un seul point. Dans notre question, ce sera bien le cas. Ce point a pour coordonnées 𝑥, 𝑦 et 𝑧. Ce sont ces coordonnées que nous devons trouver.
Les coordonnées du point d’intersection des plans sont les valeurs de 𝑥, 𝑦 et 𝑧 qui satisfont simultanément aux trois équations des plans. Par conséquent, pour trouver ces coordonnées, nous devons résoudre ce système d’équations. Tout d’abord, nous réorganisons nos équations afin que les termes constants soient sur le côté droit. Une façon de résoudre ce système d’équations est de le convertir en une équation matricielle et d’appliquer la règle de Cramer.
La règle de Cramer nous dit que la solution à cette équation matricielle est donnée par les quotients de certains déterminants. Le déterminant 𝛥 est le déterminant de la matrice des coefficients à gauche. Le déterminant 𝛥 𝑥 est le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la première colonne de la matrice des coefficients par la matrice un trois du côté droit de l’équation matricielle. Le déterminant 𝛥 𝑦 est le déterminant de la matrice obtenue en remplaçant la deuxième colonne par la matrice un, six, moins 11. Enfin, 𝛥 𝑧 est calculé en remplaçant la troisième colonne.
Calculons ces déterminants. Premièrement, 𝛥 est le déterminant de la matrice de coefficients. Cela est égal à moins cinq fois huit fois trois moins un fois moins trois moins moins deux fois moins sept fois trois moins un fois un plus six fois moins sept fois moins trois moins huit fois un, ce qui est égal à moins cinq fois 27 plus deux fois moins 22 plus six fois 13, ce qui est égal à moins 101.
Maintenant, calculons 𝛥 𝑥. 𝛥 𝑥 est égal à un fois huit fois trois moins un fois moins trois moins moins deux fois six fois trois moins un fois moins 11 plus six fois six fois moins trois moins huit fois moins 11, ce qui est égal à 505. 𝛥 𝑦 est égal à 303. 𝛥 𝑧 est égal à 505.
Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs dans la règle de Cramer. Nous avons 𝑥 est égal à 505 divisé par moins 101, ce qui est égal à moins cinq. 𝑦 est égal à 303 divisé par moins 101, ce qui est égal à moins trois. 𝑧 est égal à 505 divisé par moins 101, ce qui est égal à moins cinq. Comme mentionné plus tôt, ce sont les coordonnées de notre point d’intersection. Le point d’intersection est donc le point de coordonnées moins cinq, moins trois, moins cinq.
