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Vidéo de question : Déterminer l’intégrale d’une fonction impliquant des fonctions logarithmiques à l’aide de l’intégration par substitution Mathématiques

Déterminez l’expression générale d’une primitive de la fonction définie par ∫ -(4/(9𝑥 (ln 9𝑥)⁷)d𝑥).

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Transcription de vidéo

Déterminez l’intégrale indéfinie de moins quatre sur neuf 𝑥 multiplié par le logarithme naturel de neuf 𝑥 à la puissance sept par rapport à 𝑥 en utilisant la méthode de substitution.

Alors, cela ressemble à une intégrale très compliquée à évaluer. Nous avons une fonction inverse, et au dénominateur, nous avons le produit d’une fonction algébrique et d’une fonction de logarithme naturel, qui est élevé à la puissance sept. Mais heureusement, on nous donne un indice. On nous dit que nous devons répondre à cette question en utilisant la méthode de substitution. Dans la méthode de substitution, nous cherchons à changer la variable, afin que l’intégrale devienne plus simple à calculer. Ce que nous recherchons lorsque nous utilisons la méthode de substitution, c’est que l’intégrande soit sous la forme 𝑔 prime de 𝑥 multiplié par 𝑓 de 𝑔 de 𝑥. C’est-à-dire une fonction d’une fonction multipliée par la dérivée de l’autre fonction ou un multiple de cela.

Nous avons remarqué que la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme naturel de neuf 𝑥 est un sur 𝑥. Et si nous réécrivons notre intégrale légèrement comme moins quatre neuvièmes fois l’intégrale de un sur 𝑥 multiplié par un sur le logarithme naturel de neuf 𝑥 à la puissance sept par rapport à 𝑥, alors nous voyons que nous avons bien une fonction du logarithme naturel de neuf 𝑥 multiplié par la dérivée du logarithme naturel de neuf 𝑥. Voyons ce qui se passe alors si nous faisons cette substitution ; nous allons introduire une nouvelle variable 𝑢 égale au logarithme naturel de neuf 𝑥.

Nous avons déjà dit que la dérivée par rapport à 𝑥 du logarithme naturel de neuf 𝑥 est un sur 𝑥. Nous avons donc d𝑢 sur d𝑥 égale un sur 𝑥. Rappelez-vous que d𝑢 sur d𝑥 n’est pas une fraction. Mais cela revient à dire que d𝑢 est égal à un sur 𝑥 d𝑥. Donc en regardant la deuxième forme dans laquelle nous avons écrit notre intégrale, nous pouvons remplacer un sur 𝑥 d𝑥 par d𝑢 et nous pouvons remplacer le logarithme naturel de neuf 𝑥 par 𝑢. Cela nous donne moins quatre neuvièmes de l’intégrale de un sur 𝑢 à la puissance sept par rapport à 𝑢 et nous avons donc changé complètement notre intégrale d’une intégrale en fonction de 𝑥 à une intégrale en fonction de 𝑢.

Cela est aussi une intégrale que nous pouvons effectuer sans grande difficulté. En nous rappelant que un sur 𝑢 à la puissance sept peut être exprimé comme 𝑢 à la puissance moins sept et qu’en intégrant des puissances de 𝑢 non égales à moins un, nous augmentons la puissance d’une unité, puis divisons par la nouvelle puissance. Nous avons donc moins quatre neuvièmes multiplié par un sur moins six fois 𝑢 à la puissance moins six. Et nous devons également inclure une constante d’intégration 𝑐, car il s’agit d’une intégrale indéfinie. Nous pouvons simplifier notre réponse ; le signe moins au numérateur se simplifie avec le signe moins au dénominateur. Le quatre au numérateur peut être divisé par deux pour donner deux. Et le six au dénominateur est alors divisé par deux pour donner trois.

Nous avons donc deux sur 27 𝑢 à la puissance six plus notre constante d’intégration 𝑐. Mais nous n’avons pas encore terminé. Cette réponse est en fonction de 𝑢 et l’intégrale originale était en fonction de 𝑥. Comme il s’agit d’une intégrale indéfinie, nous devons nous assurer d’inverser notre substitution. Nous devons donc remplacer 𝑢 par sa définition en fonction de 𝑥. C’est le logarithme naturel de neuf 𝑥. Nous avons alors notre réponse finale. En utilisant la méthode de substitution, nous avons constaté que l’intégrale indéfinie de moins quatre sur neuf 𝑥 multiplié par le logarithme naturel de neuf 𝑥 à la puissance sept par rapport à 𝑥 est égale à deux sur 27 multiplié par le logarithme naturel de neuf 𝑥 à la puissance six plus une constante d’intégration 𝑐.

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