Transcription de la vidéo
Quelle est la forme générale des racines septièmes de l'unité sous forme polaire ?
On nous demande dans cette question de déterminer les nombres complexes donnés sous forme trigonométrique 𝑧 égale 𝑟 cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃 satisfaisant l'équation 𝑧 puissance sept égale un. Avant de faire des calculs, il faut noter qu'il existe une formule qui donne les racines 𝑛ièmes de l'unité pour tout 𝑛. Même s'il est possible d'utiliser cette formule pour répondre directement à la question, nous allons plutôt adopter une approche plus générale et répondre à cette question en utilisant le théorème de De Moivre.
Nous rappelons que le théorème de De Moivre pour les racines stipule que pour un nombre complexe donné sous forme trigonométrique, les racines 𝑛ièmes sont données par 𝑟 puissance un sur 𝑛 fois cosinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛. Et ceci pour toute valeur de 𝑘 allant de zéro à 𝑛 moins un. Autrement dit, le théorème de De Moivre nous donne la formule explicite des racines d'un nombre complexe donné sous forme trigonométrique. Et dans le cas où 𝑛 égale sept, on a sept racines.
Comme on cherche des nombres complexes satisfaisant 𝑧 puissance sept égale un, on peut voir que c'est la même chose que 𝑧 égale un puissance un septième. Donc, si on traite un comme un nombre complexe, on peut trouver ses racines septièmes en utilisant ce théorème. Cela signifie que nous devons écrire un sous forme trigonométrique.
Il suffit pour cela de considérer sa position sur un plan complexe d'Argand. La partie réelle de un est un, et la partie imaginaire est zéro, donc sa position sur un plan complexe d'Argand est représentée par le point un, zéro. Son module, 𝑟, est la distance de ce point à l'origine, dont on voit qu'elle doit être égale à un. Son argument, 𝜃, est la mesure de l'angle que fait le segment joignant ce point à l'origine avec l'axe des réels positifs lorsqu'il est mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On voit que cet angle est nul. Autrement dit, on peut écrire un sous forme trigonométrique comme un fois cosinus zéro plus 𝑖 sinus zéro.
Appliquons maintenant le théorème de De Moivre en considérant les racines septièmes de un. Pour cela, remplaçons 𝑟 par un, 𝜃 par zéro et 𝑛 par sept dans le membre de droite de l'équation soulignée. En faisant ceci, on obtient un puissance un septième fois cosinus zéro plus deux 𝜋𝑘 sur sept plus 𝑖 sinus zéro plus deux 𝜋𝑘 sur sept. Cela peut être simplifié, car un puissance un septième est juste un et la multiplication par un donne la même expression, tandis que le zéro à l'intérieur des termes cosinus et sinus disparaît, ce qui nous donne juste deux 𝜋𝑘 sur sept.
Par conséquent, la réponse finale sera cosinus deux 𝜋𝑘 sur sept plus 𝑖 sinus deux 𝜋𝑘 sur sept, pour des valeurs de 𝑘 comprises entre zéro et six.
