Transcription de la vidéo
Dans cette vidéo, nous allons apprendre à examiner une application particulière du théorème de Pythagore, qui consiste à trouver la distance entre deux points sur un repère cartésien. Et nous allons voir cela, à la fois en deux dimensions et en trois dimensions. Commençons alors par un exemple en deux dimensions. On nous demande dans la première question de trouver la distance entre les points ayant pour coordonnées moins trois, un et deux, quatre.
Pour commencer avec cette question, il est préférable de faire un croquis d’un repère cartésien afin de pouvoir visualiser le problème. Et il suffit que ce soit un croquis. Nous n’avons pas besoin de mesurer avec précision. Nous n’avons pas besoin de papier quadrillé, juste un croquis d’un repère cartésien à deux dimensions avec ces points marqués dessus. Donc, voici mon croquis de ce repère cartésien avec les positions approximatives des points moins trois, un et deux, quatre. Donc, si je dois trouver la distance entre ces deux points, alors je cherche la distance directe formée lorsque je les relie par une droite. Donc, je suis à la recherche de cette distance directe ici entre ces deux points.
Le théorème de Pythagore s’applique aux triangles rectangles. J’ai donc besoin de créer un triangle rectangle. Et ce que je peux faire, au-dessus ou au-dessous de cette droite, est de dessiner ici ce petit triangle rectangle. Donc, j’ai le triangle rectangle que je peux utiliser avec le théorème de Pythagore. Maintenant, je cherche à calculer cette distance. Je vais la désigner par la lettre 𝑑. Et je dois penser aux longueurs de ces deux autres côtés du triangle. Donc, regardons la distance horizontale avant tout. Cette distance horizontale, eh bien la seule chose qui change est la coordonnée 𝑥. Et elle passe de moins trois à deux. Ce qui signifie que cette distance ici, la partie horizontale de ce triangle, doit être de cinq unités. Donc, je peux le noter ici. Maintenant, si je regarde le côté vertical du triangle, bon, ici la seule chose qui change est la coordonnée 𝑦. Et elle passe de un ici à quatre ici, ce qui signifie que ce côté du triangle doit être égal à trois unités. Alors maintenant, j’ai la bonne configuration pour le théorème de Pythagore. Je connais deux côtés du triangle. Et je veux calculer le troisième, qui est dans ce cas l’hypoténuse.
Donc, un rappel du théorème de Pythagore, il nous dit que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré, où 𝑎 et 𝑏 représentent les deux côtés les plus courts d’un triangle rectangle, et 𝑐 représente l’hypoténuse. Donc, la première étape consiste simplement à écrire ce que le théorème de Pythagore me dit, spécifiquement pour ce triangle ici. Donc, si j’écris cela, j’aurai 𝑑 au carré, l’hypoténuse au carré, égale trois au carré plus cinq au carré. Ensuite, je peux remplacer les deux par leurs valeurs, neuf et 25. Puis les additionner me donne 𝑑 au carré égale 34. L’étape suivante consiste à appliquer la racine carrée des deux côtés de cette équation. J’ai donc 𝑑 égale la racine carrée de 34. Et si je calcule sa valeur à l’aide de ma calculatrice, j’obtiens 𝑑 égale 5,83, arrondi à trois chiffres significatifs. Maintenant, concernant les unités de cette valeur, on ne nous a pas dit que c’était en centimètres. Nous ne pouvons donc pas supposer que les unités sont des centimètres. Les unités vont simplement être des unités de distance générales ou des unités de longueur générales. Donc, je vais juste l’appeler 5,83 unités. Et comme je l’ai dit, le résultat a été arrondi à trois chiffres significatifs.
Voyons maintenant comment généraliser ce cas. Donc, si nous voulons trouver une formule généralisée que nous pouvons utiliser pour calculer la distance entre deux points quelconques. Et je les ai appelés 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux pour représenter des points généraux sur un repère cartésien. Maintenant, comme précédemment indiqué, nous allons commencer par un croquis. Nous ne savons rien de 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux. Mais nous supposerons simplement arbitrairement qu’ils forment une droite qui ressemble à cela. Nous avons donc 𝑥 un, 𝑦 un ici et nous avons 𝑥 deux, 𝑦 deux ici. Et nous cherchons à calculer la distance entre ces deux points.
Donc, comme auparavant, je devrais dessiner le petit triangle rectangle sous la droite. Maintenant, je dois calculer les longueurs des deux côtés de ce triangle. Alors regardons la coordonnée 𝑥 en premier. Maintenant, elle change de 𝑥 un à ce stade ici à 𝑥 deux à ce stade ici. Donc, la longueur de cette droite va être égale à la différence entre ces deux valeurs de 𝑥. Elle va être donc 𝑥 deux moins 𝑥 un. Maintenant, si je regarde la longueur de la droite verticale, je vais faire la même chose. Pour la droite verticale, la coordonnée 𝑦 change. Et elle passe de 𝑦 un à ce point ici à 𝑦 deux à ce point ici. Ainsi, la longueur de cette droite verticale va être égale à la différence entre ces deux valeurs de 𝑦. Elle va être 𝑦 deux moins 𝑦 un. Cela me donne donc des formules généralisées pour les longueurs des deux côtés de ce triangle.
Bon, maintenant je peux écrire ce que m’indique le théorème de Pythagore par rapport à 𝑑 et 𝑥 un, 𝑥 deux, 𝑦 un et 𝑦 deux. Donc, je vais avoir : 𝑑 au carré, l’hypoténuse au carré, est égal à 𝑥 deux moins 𝑥 un au carré, c’est le côté horizontal au carré, plus 𝑦 deux moins 𝑦 un au carré, c’est le côté vertical au carré. La dernière étape pour dériver cette formule généralisée est de connaître 𝑑, pas 𝑑 au carré. Donc, je dois prendre la racine carrée des deux côtés de cette équation. Et si je fais cela, j’obtiens cette formule générale : 𝑑 est égal à la racine carrée de 𝑥 deux moins 𝑥 un le tout au carré, plus 𝑦 deux moins 𝑦 un le tout au carré. Et c’est une formule généralisée pour calculer la distance entre deux points 𝑥 un, 𝑦 un et 𝑥 deux, 𝑦 deux.
Maintenant, cela n’a pas vraiment d’importance dans le contexte d’un exemple où un point aurait pour coordonnées, 𝑥 un, 𝑦 un, et l’autre 𝑥 deux, 𝑦 deux. Parce que ce que vous faites est de trouver la différence entre les valeurs de 𝑥 et la différence entre les valeurs de 𝑦, et de le mettre au carré. Et si vous faites cela dans un sens, vous obtiendrez par exemple une différence de cinq, et vous la mettez au carré pour obtenir 25. Si vous le faites dans l’autre sens, vous obtiendrez une différence de moins cinq. Mais quand vous la mettez au carré, vous obtiendrez toujours plus 25. Donc, vous pouvez penser à ces deux points dans l’un des deux sens. Maintenant, cette formule généralisée est utile car elle nous donne une formule qui s’appliquera partout, et nous pouvons y substituer n’importe quel nombre. Mais dans l’exemple précédent, les étapes suivies se résumaient en une approche purement logique adoptée pour répondre à la question. Et personnellement, je trouve parfois qu’il est plus facile d’adopter une approche logique plutôt que d’utiliser cette formule de la distance.
Bon, passons maintenant à un exemple en trois dimensions. Donc, vous avez vu que le théorème de Pythagore peut être étendu en trois dimensions. Et lorsqu’il s’agit d’applications en trois dimensions, nous avons la formule 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré plus 𝑐 au carré égale 𝑑 au carré. Voyons donc comment appliquer cette formule dans ce cas. Nous voulons calculer la distance entre ces deux points. Donc, nous cherchons 𝑑 au carré. Examinons tout d’abord la différence entre les coordonnées 𝑥. Les coordonnées 𝑥 passent de deux à moins un, ce qui correspond à une variation de moins trois. Maintenant, comme mentionné dans l’exemple précédent, peu importe que je l’appelle trois ou moins trois. Parce que quand je le mets au carré, je vais obtenir le même résultat. Je vais donc le considérer comme étant trois. La valeur de 𝑦 passe de zéro à quatre. Nous avons donc plus quatre au carré. Puis la valeur de 𝑧 dans ce cas, dans le repère cartésien en trois dimensions, passe de cinq à quatre. C’est donc une différence de un. Nous aurons alors un au carré.
Il y a donc ma formule du théorème de Pythagore en trois dimensions pour cette question particulière. L’étape suivante consiste à calculer trois au carré, quatre au carré et un au carré. Puis si je les additionne tous ensemble, j’obtiens 𝑑 au carré égale 26. Maintenant, je dois prendre la racine carrée des deux côtés. Donc, 𝑑 est égal à la racine carrée de 26. Et si je calcule sa valeur à l’aide de ma calculatrice, j’obtiens 𝑑 égale 5,10 unités, unités de longueur ou unités de distance. Et cette valeur a été arrondie à trois chiffres significatifs. Donc juste un rappel des étapes suivies ici, nous avons calculé la différence entre les coordonnées 𝑥, qui était de trois, la différence entre les coordonnées 𝑦, qui était de quatre, et la différence entre les coordonnées 𝑧, qui était de un. Puis nous avons utilisé la formule du théorème de Pythagore pour les problèmes en trois dimensions afin de calculer la distance entre ces deux points dans l’espace 3D.
Enfin, regardons une application de cette formule. Nous avons donc cette question, où les sommets d’un rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷 sont ces quatre points ici. Calculez l’aire du rectangle.
Donc, pour trouver l’aire du rectangle, nous devons connaître les longueurs de ses deux côtés. Donc, nous allons utiliser deux fois le théorème de Pythagore pour calculer deux longueurs. Maintenant, comme auparavant, commençons par un croquis afin de pouvoir imaginer ce problème. Nous avons donc ici un croquis de ce repère cartésien avec les points 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 marqués dans leurs positions approximatives. Et vous pouvez voir qu’en les reliant, nous formons ce rectangle. Donc, pour calculer l’aire de ce rectangle, je dois calculer les longueurs de ses deux côtés, puis les multiplier ensemble. Donc, je vais calculer l’aire de ce rectangle. Pour ce faire, je vais déterminer la longueur de 𝐴𝐵. Et je vais la multiplier par 𝐵𝐶. Mais je pourrais également calculer 𝐶𝐷 multiplié par 𝐴𝐷 ou le produit de n’importe quelle combinaison de côtés que je voudrais faire en particulier.
Bon, commençons par la longueur de 𝐴𝐵 en premier. Donc, je suis intéressé par les points trois, trois et deux, un pour déterminer cette longueur. Alors, calculons cette longueur en utilisant le théorème de Pythagore. Donc 𝐴𝐵 au carré, les coordonnées 𝑥, eh bien concernant la différence entre celles-ci, elles passent de deux à trois. C’est donc une différence de un, donc un au carré. Quant à la différence entre les coordonnées 𝑦, elles passent de un à trois, soit une différence de deux, deux au carré. Il y a donc une formule du théorème de Pythagore pour calculer 𝐴𝐵. Donc, les deux étapes suivantes, déterminez les valeurs de un au carré et deux au carré, puis ajoutez-les ensemble. Ensuite j’ai besoin de la racine carrée des deux côtés.. Et je vais poser 𝐴𝐵 égale la racine carrée de cinq pour l’instant. Nous avons donc une longueur calculée.
Maintenant, je dois faire la même chose avec 𝐵𝐶. Donc 𝐵𝐶 au carré, je regarde la coordonnée 𝑥, elle passe de deux à moins quatre. C’est donc une différence de moins six. Mais rappelez-vous, peu importe que je l’appelle plus ou moins. Donc, je vais le considérer comme étant six au carré. Si je regarde la coordonnée 𝑦, je constate qu’elle passe de un à quatre. Il y a donc une différence de trois, donc trois au carré. Et il y a notre formule du théorème de Pythagore pour calculer 𝐵𝐶. Alors, je détermine les valeurs de six au carré et trois au carré. Puis je les additionne ensemble. Et j’obtiens 𝐵 - 𝐵𝐶 au carré égale 45. Ensuite, j’ai besoin de la racine carrée des deux côtés. Donc 𝐵𝐶 est égal à la racine carrée de 45. Puis en fait, je peux simplifier cette racine. Parce que ce dont je dois me souvenir, c’est que 45 est égal à neuf fois cinq. Et comme neuf est un nombre carré, je peux amener cette racine carrée de neuf à l’extérieur de la racine. Et cela se simplifiera en un radical où 𝐵𝐶 égale trois racine cinq. Alors là, j’ai les longueurs de mes deux côtés : 𝐴𝐵 égale racine de cinq, 𝐵𝐶 égale trois racine cinq.
La dernière étape consiste alors à calculer l’aire, donc à multiplier ces deux longueurs ensemble. Alors, je vais avoir l’aire sous la forme racine de cinq fois trois de racine cinq. Maintenant, racine de cinq fois racine de cinq me donne simplement cinq. Donc, j’ai cinq fois trois, ce qui fait 15. Et concernant l’unité de cette valeur, c’est bien une aire. Il doit donc s’agir de carrés unités. Nous ne savons pas s’il s’agit de centimètres carrés ou de millimètres carrés. Donc, nous allons simplement l’appeler 15 carrés unités pour l’aire.
Donc, dans cette question, il s’agissait d’appliquer deux fois le théorème de Pythagore pour trouver la distance entre deux ensembles de points différents, puis de les combiner en utilisant no connaissances sur les aires de rectangles. Vous avez donc ici un résumé de la façon d’utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance entre deux points. Et nous avons vu comment la calculer en deux dimensions. Nous avons également vu comment le faire en trois dimensions puis une application pour trouver l’aire d’un rectangle. Nous avons aussi vu comment généraliser, trouver cette formule de la distance. Et vous la trouverez peut-être utile à utiliser si vous souhaitez simplement remplacer des valeurs dans une formule. Ou, vous trouverez peut-être qu’il vaut mieux simplement adopter l’approche logique consistant à examiner la différence entre les valeurs de 𝑥, les valeurs de 𝑦, etc.
