Vidéo question :: Déterminer l’aire d’une figure composée à l’aide de la formule de Héron Mathématiques

Transcription de la vidéo

Calculez l’aire de la figure suivante au millième de centimètre carré près en t’aidant de la formule de Héron.

Si nous regardons la question, on nous demande d’utiliser la formule de Héron. Alors tout d’abord, voyons ce qu’est la formule de Héron. Eh bien, la formule de Héron est en fait un moyen de déterminer l’aire d’un triangle. Et elle est particulièrement utile lorsque nous ne connaissons ni la hauteur du triangle ni ses angles.

Donc si nous avons un triangle de côtés de longueur 𝑎, 𝑏 et 𝑐, alors la formule de Héron nous dit que l’aire d’un triangle est égale à la racine carrée de 𝑠 multiplié par 𝑠 moins 𝑎 multiplié par 𝑠 moins 𝑏 multiplié par 𝑠 moins 𝑐. Et cela avec 𝑠 le demi-périmètre. C’est-à-dire la moitié de la distance du contour du triangle.

Et pour calculer cela, nous avons 𝑠 égale 𝑎 plus 𝑏 plus 𝑐. C’est-à-dire tous les côtés additionnés, puis divisés par deux. Très bien, alors nous avons la formule de Héron. Et nous connaissons le demi-périmètre. Utilisons-les pour trouver l’aire de notre figure.

La première chose que nous faisons est de diviser notre figure en deux parties. Nous avons la partie 𝐴 et la partie 𝐵 car la figure est en fait composée de deux triangles. Et avant de trouver l’aire de l’un de ces triangles, ce que nous allons devoir faire, c’est trouver cette longueur ici, que nous appelons 𝑥.

Eh bien, pour trouver 𝑥, nous pouvons voir que ce triangle ici est en fait un triangle rectangle. Et cela est parce que nous avons un angle droit. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore.

Et ce que le théorème de Pythagore nous dit, c’est que si nous avons un triangle rectangle de côtés 𝑎, 𝑏, 𝑐, où 𝑐 est l’hypoténuse, c’est-à-dire le côté le plus long, opposé à l’angle droit, alors nous avons 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Ainsi, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de notre hypoténuse.

Bien, alors comme nous l’avons dit, utilisons cela pour trouver 𝑥. Donc ce que nous avons écrit, c’est que 𝑥 au carré est égal à 20 au carré moins 16 au carré. Comme vous pouvez le voir, nous avons réarrangé le théorème de Pythagore parce que nous essayons en fait de trouver ici un côté court.

Donc cela va être le côté le plus long au carré moins l’autre côté court au carré. Et nous savons que dans ce cas, le 20 est notre côté le plus long ou notre hypoténuse car il est à l’opposé de l’angle droit.

Très bien, alors maintenant, calculons 𝑥. Nous allons donc obtenir 𝑥 au carré est égal à 144. Maintenant, si nous prenons la racine carrée de chaque côté, nous allons obtenir 𝑥 égale 12. Très bien, nous avons maintenant trouvé notre côté manquant. Maintenant, continuons et calculons l’aire du triangle 𝐴 et l’aire du triangle 𝐵.

Nous allons commencer par le triangle 𝐴. Il est utile ici de revoir la question pour nous en souvenir. La question dit que nous devons utiliser la formule de Héron. Donc peu importe s’il existe une autre méthode que nous pourrions utiliser. Nous devons utiliser la formule de Héron pour trouver l’aire de notre figure. Donc la première chose à faire est de trouver le demi-périmètre.

Le demi-périmètre est égal aux trois côtés additionnés, soit 12 plus 16 plus 20, le tout divisé par deux, ce qui donne 24. Bien, maintenant, ce que nous pouvons faire, c’est utiliser cela dans la formule de Héron pour trouver l’aire du triangle 𝐴.

L’aire est égale à la racine carrée de 24 multiplié par 24 moins 12 multiplié par 24 moins 16 multiplié par 24 moins 20, ce qui est égal à la racine carrée de 9216, ce qui nous donne une aire de 96 centimètres carrés. Très bien, nous avons trouvé l’aire du triangle 𝐴. Nous pouvons maintenant passer au triangle 𝐵.

Pour le triangle 𝐵, nous faisons en fait la même chose que pour le triangle 𝐴, c’est-à-dire trouver en premier lieu le demi-périmètre. Celui-ci est égal à 16 plus 20 plus 23 sur deux, ce qui est égal à 59 sur 2, ce qui nous donne une valeur pour 𝑠 de 29,5.

Très bien, alors maintenant, encore une fois, nous pouvons appliquer la formule de Héron pour trouver l’aire du triangle 𝐵. Nous allons donc avoir l’aire égale à racine carrée de 29,5 multiplié par 29,5 moins 16 multiplié par 29,5 moins 20 multiplié par 29,5 moins 23, ce qui nous donne un résultat de 156,818167 centimètres carrés pour l’aire du triangle 𝐵.

Très bien, nous avons donc trouvé l’aire du triangle 𝐴 et du triangle 𝐵. Maintenant, ce que nous devons faire, c’est passer à la dernière étape – trouver l’aire totale de notre figure. Eh bien, pour trouver l’aire totale de notre figure, nous allons avoir 96 plus 156,818167, ce qui nous donne 252,818167.

Cependant, avons-nous terminé ? Eh bien, non, parce que si nous revenons à la question, la question dit de donner la réponse au millième près. Nous pouvons donc dire que l’aire de la figure est de 252,818 centimètres carrés. Et ceci est au millième près.

Et nous avons trouvé cela, parce que si nous regardons notre réponse initiale, la troisième décimale est le huit. Le chiffre suivant est un. Et puisque un est inférieur à cinq, le huit reste inchangé.

Nous pouvons donc dire que notre aire finale est de 252,818 centimètres carrés au millième près.