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Vidéo de question : Trouver les racines cinquièmes de l’unité Mathématiques

Déterminez les racines cinquièmes de l'unité.

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Transcription de vidéo

Déterminez les racines cinquièmes de l'unité.

Eh bien, ce sont les cinq valeurs de 𝑧 qui satisfont l’équation 𝑧 à la puissance cinq égal à un. Et nous pouvons utiliser la formule de Moivre pour nous aider à trouver les valeurs 𝑧 de qui satisfont cette équation. En effet, cette formule stipule que pour un nombre complexe 𝑧 égal à 𝑟 fois cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, la racine 𝑛ième de 𝑧 donnée par 𝑧 à la puissance un sur 𝑛 est égale à 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cosinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 pour des valeurs de 𝑘 égales à zéro, un, deux et ce jusqu’à 𝑛 moins un.

En revenant à notre équation, nous avons que 𝑧 puissance cinq est égal à un. Et nous pouvons écrire un sous forme polaire comme un fois cosinus zéro plus 𝑖 sinus zéro. En d’autres termes, 𝑟 est égal à un et 𝜃 est égal à zéro. Ensuite, comme 𝑟 est égal à un, 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 va être simplement égal à un. Et avec 𝜃 égal à zéro, on peut dire que 𝑧 à la puissance un sur 𝑛 est égal à cosinus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sinus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, où 𝑘 prend les valeurs entières allant de zéro à 𝑛 moins un. Et nous pourrions écrire ceci sous forme exponentielle comme 𝑒 puissance deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 𝑖.

Ainsi, nous avons maintenant cette formule générale pour trouver les racines 𝑛ièmes de l’unité. Revenons en arrière et répondons à notre question spécifique. Pour trouver les racines cinquièmes de l’unité, nous allons poser que 𝑛 est égal à cinq et 𝑘 prendra les valeurs entières allant de zéro à cinq moins un. Ceci est égal à quatre. Lorsque 𝑘 est égal à zéro, 𝑧 puissance un sur cinq est égal à cosinus deux 𝜋 fois zéro sur cinq plus 𝑖 sinus deux 𝜋 fois zéro sur cinq. Eh bien, deux 𝜋 fois zéro est égal à zéro. Ainsi, cela nous donne cosinus zéro plus 𝑖 sinus zéro ou sous forme exponentielle, 𝑒 puissance zéro 𝑖, ce qui bien sûr est simplement 𝑒 puissance zéro soit un. Notre première racine est donc un.

Pour notre prochaine racine, remplaçons 𝑘 par un. Cela nous donne cosinus deux 𝜋 fois un sur cinq plus 𝑖 sinus deux 𝜋 fois un sur cinq. Et bien sûr, deux 𝜋 fois un sur cinq est simplement égal à deux 𝜋 sur cinq. Par conséquent, notre racine suivante sous forme exponentielle est 𝑒 puissance deux 𝜋 sur cinq 𝑖. Poursuivons. Lorsque 𝑘 est égal à deux, nous obtenons cosinus deux 𝜋 fois deux sur cinq plus 𝑖 sinus deux 𝜋 fois deux sur cinq, ce qui se simplifie en cosinus quatre 𝜋 sur cinq plus 𝑖 sinus quatre 𝜋 sur cinq, ce qui s’écrit sous forme exponentielle 𝑒 puissance quatre 𝜋 sur cinq 𝑖. Ensuite, nous remplaçons 𝑘 par trois et trouvons que notre racine suivante est cosinus six 𝜋 sur cinq plus 𝑖 sinus six 𝜋 sur cinq.

Mais nous essayons généralement de donner nos réponses de sorte que cet argument soit supérieur à moins 𝜋 mais inférieur ou égal à plus 𝜋 ce que l’on nomme argument principal. Trouvons alors un angle équivalent dans cet intervalle. En raison de la nature périodique de cette fonction, nous pouvons simplement soustraire deux 𝜋 et voir si ceci nous donne un résultat appartenant à l’intervalle requis. Eh bien, six 𝜋 sur cinq moins deux 𝜋 est égal à six 𝜋 sur cinq moins 10𝜋 sur cinq, ce qui est égal à moins quatre 𝜋 sur cinq. Et comme cet angle appartient à l’intervalle requis, nous pouvons donc utiliser cette valeur. Et la forme exponentielle équivalente est 𝑒 à la puissance moins quatre 𝜋 sur cinq 𝑖.

Maintenant, pour notre dernière racine, nous pouvons remplacer 𝑘 par quatre. Et cela nous donne cosinus huit 𝜋 sur cinq plus 𝑖 sinus huit 𝜋 sur cinq. Et encore une fois, nous avons une valeur pour notre argument qui est supérieure à 𝜋. Nous soustrayons donc deux 𝜋 pour obtenir moins deux 𝜋 sur cinq qui est notre argument principal. Notre dernière racine sous forme exponentielle est donc 𝑒 puissance moins deux 𝜋 sur cinq 𝑖. Ainsi, nos racines cinquièmes de l’unité sont un, 𝑒 puissance deux cinquièmes 𝜋𝑖, 𝑒 puissance quatre cinquièmes 𝜋𝑖, 𝑒 puissance moins quatre cinquièmes 𝜋𝑖 et 𝑒 puissance moins deux cinquièmes 𝜋𝑖.

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