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Vidéo de question : Diviser des nombres complexes Mathématiques

Écrivez (1 + 2𝑖)/(9 + 7𝑖) sous la forme 𝑥 + 𝑦𝑖.

02:59

Transcription de vidéo

Écrivez un plus deux 𝑖 divisé par neuf plus sept 𝑖 sous la forme 𝑥 plus 𝑦𝑖.

Dans cette question, nous devons diviser deux nombres complexes et écrire notre réponse sous la forme 𝑥 plus 𝑦𝑖 où 𝑥 est la partie réelle et 𝑦 est la partie imaginaire de notre nombre complexe. Nous rappelons que pour diviser deux nombres complexes, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Nous le faisons car cela résulte en un dénominateur purement réel. Si le nombre complexe 𝑧 est égal à 𝑥 plus 𝑦𝑖, alors le conjugué 𝑧 barre est égal à 𝑥 moins 𝑦𝑖.

Dans cette question, nous devons multiplier un plus deux 𝑖 sur neuf plus sept 𝑖 par neuf moins sept 𝑖 sur neuf moins sept 𝑖. Nous le ferons en développant les parenthèses au numérateur et au dénominateur séparément. Une façon de le faire est de multiplier les premiers termes, puis les termes, extérieurs, intérieurs, puis les derniers. La multiplication des premiers termes de notre numérateur nous donne neuf. Les termes extérieurs ont un produit de moins sept 𝑖. Les termes intérieurs ont un produit de 18𝑖. Et multiplier les derniers termes nous donne moins 14 𝑖 au carré. En répétant cela au dénominateur, nous obtenons 81 moins 63𝑖 plus 63𝑖 moins 49 𝑖 au carré. Les termes intermédiaires s’annulent pour donner zéro.

Nous rappelons également que 𝑖 au carré est égal à moins un, nous pouvons donc le substituer au dernier terme du numérateur et du dénominateur. Moins 14 multiplié par moins un égale 14, et en ajoutant cela à neuf, nous obtenons 23. Moins sept 𝑖 plus 18𝑖 est égal à 11𝑖. Le numérateur devient 23 plus 11𝑖. Au dénominateur, nous avons 81 moins 49 multiplié par moins un. Cela se simplifie en 130. Comme on nous demande de donner notre réponse sous la forme 𝑥 plus 𝑦𝑖, nous devons séparer les parties réelle et imaginaire. Cela nous donne 23 sur 130 plus 11 sur 130 𝑖. 𝑥 est égal à 23 sur 130 et 𝑦 est égal à 11 sur 130.

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