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Vidéo de question : Déterminer le coefficient de variation d’une variable aléatoire discrète Mathématiques

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui a pour valeurs 1, 4 et 6. Sachant que 𝑓(𝑥) = (𝑥² + 11)/𝑎, déterminez le coefficient de variation de 𝑋. Si nécessaire, donnez votre réponse au centième près.

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Transcription de vidéo

Soit 𝑋 une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs un, quatre et six. Sachant que la distribution de probabilité de X est 𝑓 de 𝑥 est égal à 𝑥 au carré plus 11 sur 𝑎, trouvez le coefficient de variation de 𝑋. Si nécessaire, donnez votre réponse au centième près.

On nous a donné la distribution de probabilité de cette variable aléatoire discrète 𝑓 de 𝑥. Mais elle est actuellement définie en fonction d’une valeur inconnue 𝑎. Avant de pouvoir calculer le coefficient de variation, nous devons déterminer cette valeur. Nous pouvons le faire en rappelant que la somme de toutes les probabilités dans une distribution de probabilité doit être égale à un. Donc si nous pouvons trouver des expressions pour 𝑓 de un, 𝑓 de quatre et 𝑓 de six – ce sont les probabilités pour chaque valeur du domaine de définition de cette variable aléatoire discrète – nous pouvons alors former une équation et la résoudre pour trouver la valeur de 𝑎.

𝑓 de un, tout d’abord, est égale à un au carré plus 11 sur 𝑎, soit 12 sur 𝑎. 𝑓 de quatre est égale à quatre au carré plus 11 sur 𝑎, soit 27 sur 𝑎. Enfin, 𝑓 de six égale six au carré plus 11 sur 𝑎, soit 47 sur 𝑎. Comme nous l’avons déjà dit, la somme de ces trois valeurs doit être égale à un. Nous avons donc l’équation 12 sur 𝑎 plus 27 sur 𝑎 plus 47 sur 𝑎 égale un. Cela se simplifie en 86 sur 𝑎 égale un. Et en multipliant les deux côtés de cette équation par 𝑎, nous trouvons que 𝑎 est égal à 86. Nous avons donc déterminé la valeur de cette inconnue.

Nous pouvons alors déterminer explicitement la probabilité pour chaque valeur du domaine de définition de cette variable aléatoire discrète. Et nous garderons pour le moment ces valeurs sous la forme de fractions avec un dénominateur commun de 86. Bien, alors on nous a demandé de trouver le coefficient de variation pour cette variable aléatoire discrète 𝑋. Cela représente l’écart-type en pourcentage par rapport à l’espérance. Si la variable aléatoire discrète 𝑋 a une espérance non nulle 𝐸 de 𝑋 et un écart-type 𝜎 indice 𝑋, alors son coefficient de variation est donné par 𝜎 indice 𝑋 sur 𝐸 de 𝑋 multiplié par 100.

Nous devons donc calculer à la fois l’espérance et l’écart-type de cette variable aléatoire discrète. Nous avons sa distribution de probabilité, mais écrivons cela dans un tableau. Dans la ligne du haut, nous écrivons les valeurs du domaine de définition de cette variable aléatoire discrète, qui sont un, quatre et six. Puis à la deuxième ligne, nous écrivons leurs probabilités correspondantes, que nous venons de déterminer comme étant 12 sur 86, 27 sur 86 et 47 sur 86.

Ensuite, nous allons calculer l’espérance de 𝑋. Cela est égal à la somme de chaque valeur 𝑥 multipliée par sa probabilité. Et nous pouvons créer une nouvelle ligne dans notre tableau pour calculer ces valeurs. Nous avons un multiplié par 12 sur 86, soit 12 sur 86 ; quatre multiplié par 27 sur 86, soit 108 sur 86 ; et enfin six multiplié par 47 sur 86, soit 282 sur 86. L’espérance de 𝑋 est la somme de ces trois valeurs, soit 402 sur 86, ou sous forme simplifiée 201 sur 43.

Nous avons donc l’espérance de 𝑋. Ensuite, nous devons calculer l’écart-type. Nous rappelons que l’écart-type est la racine carrée de la variance. Et la variance de 𝑋 est égale à l’espérance de 𝑋 au carré moins le carré de l’espérance de 𝑋. Nous devons être clairs sur la différence de notation ici. Au deuxième terme, nous prenons l’espérance de 𝑋, que nous venons de calculer, et nous la mettons au carré, tandis que dans le premier terme, nous calculons d’abord les termes 𝑋 au carré puis calculons leur espérance.

La formule de l’espérance de 𝑋 au carré est la somme de chaque valeur de 𝑥 au carré multipliée par la valeur de 𝑓 de 𝑥. Et les valeurs de 𝑓 de 𝑥 ou les probabilités sont directement issues de la distribution de probabilité de 𝑥. Nous pouvons ajouter une autre ligne à notre tableau pour trouver les valeurs 𝑥 au carré. Les carrés de un, quatre et six sont un, 16 et 36. Puis nous pouvons ajouter une dernière ligne dans laquelle nous multiplions les valeurs de 𝑥 au carré par les valeurs de 𝑓 de 𝑥, ce qui nous donne 12 sur 86, 432 sur 86 et 1692 sur 86. L’espérance de 𝑋 au carré est alors la somme de ces trois valeurs, soit 2136 sur 86, ou sous forme simplifiée 1068 sur 43.

Comme nous avons calculé l’espérance de 𝑋 et l’espérance de 𝑋 au carré, nous sommes maintenant en mesure de calculer la variance de 𝑋. Cela est égal à 1068 sur 43 moins 201 sur 43 au carré. Nous utiliserons une calculatrice pour évaluer cela, et cela donne 2,9870 et ainsi de suite. L’écart-type est la racine carrée de cette valeur. Donc en calculant la racine du nombre décimal exact sur notre calculatrice, nous avons que l’écart-type de 𝑋 est égal à 1,7282 et ainsi de suite.

Nous avons maintenant trouvé l’espérance et l’écart-type de 𝑋. Il ne reste donc plus qu’à substituer ces deux valeurs dans la formule du coefficient de variation. En gardant la valeur exacte de l’écart-type de 𝑋 que nous venons de trouver à l’écran de notre calculatrice, nous pouvons la diviser par l’espérance de 201 sur 43, puis multiplier par 100. Bien sûr, diviser par 201 sur 43 revient à multiplier par 43 sur 201.

L’évaluation de cette valeur en utilisant des valeurs exactes donne 36,9735 et ainsi de suite. La question dit que, si nécessaire, nous devons arrondir notre réponse au centième près. Donc comme le troisième chiffre après la virgule est un trois, nous allons arrondir vers le bas. Le coefficient de variation de 𝑋 au centième près est alors de 36,97 pour cent, ce qui nous dit que l’écart-type de 𝑋 est d’environ 37 pour cent de l’espérance.

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