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Vidéo de question : Détermination de l’accélération d’un corps sur un plan lisse incliné sous l’action d’une force horizontale. Mathématiques

Un corps de masse 16 kg a été placé sur un plan lisse qui était incliné de 45 ° par rapport à l’horizontale. Une force horizontale de 48 kgp agit sur le corps vers le plan. Sachant que la ligne d’action de la force, le corps et la ligne de plus grande pente se trouvent tous dans le même plan vertical, déterminez l’accélération du corps. Considérez l’accélération gravitationnelle g = 9,8 m / s².

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Transcription de vidéo

Un corps de masse 16 kilogrammes est placé sur un plan lisse incliné à 45 degrés par rapport à l’horizontale. Une force horizontale de 48 kilogrammes-poids agit sur le corps vers le plan. Étant donné que la ligne d’action de la force, le corps et le coté de plus grande pente se situent tous dans le même plan vertical, déterminez l’accélération du corps. Considérez que l’accélération due à la pesanteur est 𝑔 égale à 9,8 mètres par seconde carrée.

Pour répondre à cette question, on va tout simplement commencer par tracer un schéma. Ce schéma n’a pas besoin d’être mis à l’échelle, mais il doit être à peu près en proportion afin qu’on puisse bien comprendre ce qui se passe. On a un plan lisse incliné à 45 degrés par rapport à l’horizontale. Alors, le fait que ce plan soit lisse nous indique simplement qu’il n’exerce aucune force de frottement sur le corps placé dessus. On a un corps dont la masse est 16 kilogrammes placé sur ce plan. Cela signifie qu’il exerce une force vers le bas sur le plan. Et cette force est égale à la masse multipliée par l’accélération due à la pesanteur. On appelle l’accélération due à la pesanteur 𝑔, bien qu’on nous a dit qu’elle est de 9,8 mètres par seconde carrée.

La force vers le bas que le corps exerce sur le plan est de 16𝑔. Ensuite, on a également une force horizontale de 48 kilogrammes-poids agissant sur le corps vers le plan. Et on peut donc modéliser cela comme le corps exerçant une force horizontale sur le plan lui-même. Le problème, c’est que cette force est donnée en kilogrammes-poids. Et en effet, on a exprimé le poids du corps en newtons. Eh bien, un kilogramme-poids n’est qu’une autre façon de mesurer une force. Et on peut convertir les kilogrammes-poids en newtons en sachant qu’un kilogramme-poids est égal à 9,8 newtons. Et donc notre force horizontale de 48 kilogrammes-poids est égale à 48 fois 9,8 newtons. C’est 470,4. Notre force horizontale est donc de 470,4 newtons.

On veut calculer l’accélération du corps. Et donc on doit faire une hypothèse sur le sens dans lequel on pense que le corps va se déplacer. Supposons que le corps va monter le plan. Et donc l’accélération est positive dans ce sens. En effet, cela n’a pas d’importance. Si on suppose que l’accélération agit dans le sens opposé, le signe nous dira le sens dans lequel la force agit réellement. Alors, il y a une autre force qu’on doit inclure sur notre schéma. Cette force est la réaction normale du plan sur le corps. Appelons cela 𝑅.

Alors, on n’a pas vraiment besoin de considérer 𝑅 dans cette question. Mais cela vaut toujours la peine de tracer sur le schéma toutes les forces impliquées. Et puis la formule que nous allons utiliser pour nous aider à résoudre ce problème est 𝐅 est égal à 𝑚𝑎 : la force est égale à la masse multipliée par l’accélération. On nous a dit que l’accélération agit parallèlement au plan. On va donc considérer les composantes des forces qui agissent dans cette direction. Commençons par regarder la force horizontale. On va ajouter un triangle rectangle comme indiqué.

On sait bien que l’angle inclus dans ce triangle est de 45 degrés. Et c’est parce que les angles correspondants sont égaux. Ensuite on veut trouver la composante de cette force qui est parallèle au plan. Alors étiquetons ce côté de notre triangle 𝑥 ou 𝑥 newtons. 𝑥 est le côté adjacent dans ce triangle, et l’hypoténuse est 470,4 newtons. Utilisons donc l’expression pour le cosinus pour former une équation. On sait que cos de 𝜃 est le côté adjacent sur l’hypoténuse. Donc, dans ce cas, cos de 45 degrés est égal à 𝑥 sur 470,4. On peut calculer 𝑥 en multipliant par 470,4. Donc 𝑥 est 470,4 fois cos de 45, mais cos de 45 est la racine de deux sur deux. Et donc on trouve que 𝑥 est égal à 235,2 racine de deux. C’est la composante de cette force qui agit parallèlement au plan.

Ensuite on va répéter ce processus pour le poids. On ajoute un triangle rectangle. Et l’angle inclus est à nouveau de 45 degrés. On appelle la composante de cette force qui est parallèle au plan comme 𝑦 ou 𝑦 newtons. Encore une fois, on a le coté adjacent et l’hypoténuse. On va donc utiliser l’expression pour le cosinus. cos de 45 est 𝑦 divisé par 16𝑔. Et si on multiplie par 16𝑔, on obtient 16𝑔 fois cos de 45.

Puis on va utiliser le fait que 𝑔 est 9,8. En utilisant cela et que le cos de 45 est la racine de deux sur deux, on trouve que 𝑦 est 78,4 fois la racine de deux. On a maintenant des forces agissant parallèlement au plan. On doit trouver la somme de ces forces. Celui-ci agit dans le même sens que la force d’accélération, donc on va supposer qu’elle est positive. Cependant celui-ci agit dans le sens opposé. Il agit parallèlement et vers le bas du plan. Donc, sa force est négative, ce qui signifie que la somme de nos forces est 235,2 racine de deux moins 78,4 racine de deux. Ceci est évidemment égal à la masse multipliée par l’accélération. Rappelons-nous qu’on utilise cette formule. La masse du corps est de 16 kilogrammes, et on a dit que l’accélération était égale à 𝑎.

On a donc une équation : 235,2 racine de deux moins 78,4 racine de deux est égal à 16𝑎. Ce membre de gauche se simplifie en 156,8 racine deux. Donc, pour résoudre l’équation, notre dernière étape consiste à diviser par 16. 156,8 divisé par 16 est 49 sur cinq. On trouve donc que l’accélération 𝑎 est égale à 49 racine de deux sur cinq ou 49 racine de deux sur cinq mètres par seconde carrée. Observons que si on avait dit que l’accélération agissait dans le sens opposé - en d’autres termes, vers le bas du plan ⁠- on aurait obtenu comme résultat moins 49 racine de deux sur cinq. La norme de l’accélération aurait toujours été de 49 racine de deux sur cinq. Cela nous indique simplement qu’elle décélère dans ce sens.

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