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Vidéo de la leçon : Vecteurs: définition Mathématiques

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier, construire et exprimer des vecteurs.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier, construire et exprimer des vecteurs. Commençons par la description d’un vecteur reliant deux points. On se pose la question suivante.

De quelles informations avons-nous besoin pour définir entièrement un vecteur? On se place dans le plan en deux dimensions illustré. La flèche dessinée représente un vecteur. Nous pouvons le définir de deux façons. Tout d’abord, tout vecteur a une norme, une direction et un sens. La longueur du segment dessiné est égale à la norme du vecteur, et la flèche indique la direction et le sens. Le point de départ d’un vecteur est appelé son origine et son point d’arrivée, l’extrémité. Le sens de tout vecteur est donc de son origine à son extrémité. Cela signifie nous pouvons également définir un vecteur si nous connaissons son point initial, ou origine, et son point final, ou extrémité. Nous pouvons donc conclure que deux ensembles d’informations peuvent définir un vecteur: soit sa norme, sa direction et son sens, soit ses points initial et final.

Nous allons maintenant brièvement évoquer la notation utilisée pour les vecteurs. Si on appelle le vecteur dessiné, le vecteur 𝐯, on l’écrit avec une demi-flèche au-dessus de la lettre. Pour aller de l’origine du vecteur à son extrémité, on se déplace de sept unités dans le sens horizontal et de trois unités dans le sens vertical. On peut l’écrire entre parenthèses comme ceci. On peut également noter un vecteur en fonction des vecteurs unitaires 𝐢 et 𝐣, dans ce cas sept 𝐢 plus trois 𝐣. La composante en 𝐢 est le déplacement dans le sens des 𝑥, et la composante en 𝐣 est le déplacement dans le sens des 𝑦. On peut également le représenter par un vecteur colonne sept, trois comme ceci.

On note la norme du vecteur 𝐯 en utilisant des barres verticales, et on peut la calculer en utilisant le théorème de Pythagore. Dans ce cas, la norme du vecteur 𝐯 est égale à racine carrée de sept au carré plus trois au carré. On calcule la somme des carrés des composantes en 𝑥 et 𝑦 puis on prend la racine carrée. Dans cet exemple, la norme du vecteur 𝐯 est égale à racine carrée de 58.

Comme mentionné précédemment, nous pouvons également définir un vecteur à l’aide de son point initial et de son point final. Dans cet exemple, le point 𝐴 a les coordonnées moins trois, un et le point 𝐵 a les coordonnées quatre, quatre. Nous pouvons calculer le vecteur du segment 𝐴𝐵 en soustrayant leurs abscisses et leurs ordonnées. Soustraire l’abscisse de 𝐴 à l’abscisse de 𝐵 donne quatre moins moins trois. Avec les ordonnées, on obtient quatre moins un. Cela prouve encore une fois que le vecteur sur notre schéma est sept, trois.

Nous allons maintenant étudier une question où nous devons identifier des vecteurs qui ont le même sens.

Quel vecteur a la même direction et le même sens que le vecteur 𝐚?

Si deux vecteurs ont le même sens dans un repère, alors leurs droites doivent être parallèles. Cela signifie qu’elles ne se rencontrent jamais. Il est donc évident sur le schéma que le vecteur qui a le même sens que 𝐚 est le vecteur 𝐝. Les vecteurs 𝐚 et 𝐛 ont le même point initial mais ne sont pas confondus. Par conséquent, ils ne peuvent pas avoir le même sens. De la même manière, les vecteurs 𝐚 et 𝐜 ont le même point final mais ne sont pas confondus. Cela signifie qu’ils ne peuvent pas avoir le même sens. Si deux segments ont le même point initial ou point final mais ne sont pas confondus, ils ne peuvent pas être parallèles. Par conséquent, les vecteurs ne peuvent pas être dans le même sens.

Nous pouvons en fait aller plus loin avec cette question. Nous pouvons voir sur le repère que le vecteur 𝐚 est égal à quatre, deux. Du point initial au point final, on se déplace de quatre unités vers la droite et de deux unités vers le haut. Cela est également vrai pour le vecteur 𝐝. Nous pouvons donc conclure que les vecteurs 𝐚 et 𝐝 ont la même norme, la même direction et le même sens. Lorsque deux vecteurs ont les mêmes composantes en 𝑥 et 𝑦, ils ont la même norme, la même direction et le même sens.

Dans la question suivante, nous devons identifier l’extrémité d’un vecteur.

Quel est le point final du vecteur 𝐀𝐁?

Le vecteur 𝐀𝐁 est un segment qui commence au point 𝐴 et se termine au point 𝐵. Le point 𝐴 est appelé le point initial ou l’origine du vecteur. Le point 𝐵 est appelé le point final ou extrémité du vecteur. Écrire 𝐀𝐁 avec une demi-flèche au-dessus est une notation courante pour désigner le vecteur qui commence au point 𝐴 et se termine ou arrive au point 𝐵. Nous pouvons donc conclure que le point 𝐵 est le point final du vecteur.

Dans la prochaine question, nous devons calculer la norme d’un vecteur.

Calculez la norme du vecteur 𝐯 tracé sur la grille de carrés unitaires ci-dessous.

Tout vecteur, dans ce cas 𝐯, peut être écrit en fonction de ses composantes en 𝑥 et 𝑦. Tout vecteur a un point initial ou origine et un point final, ou extrémité. Pour aller du point initial au point final, on se déplace d’une unité vers la droite et de deux unités vers le haut. Cela signifie que le vecteur 𝐯 est égal à un, deux. La norme de tout vecteur est indiquée par des barres verticales. La norme est égale à la longueur du segment et peut être calculée en additionnant les carrés des composantes en 𝑥 et 𝑦, puis prenant la racine carrée de cette somme. Dans cette question, la norme du vecteur 𝐯 est donc égale à racine carrée de un au carré plus deux au carré. Un au carré égale un, et deux au carré égale quatre. Donc la norme du vecteur 𝐯 est égale à racine carrée de cinq.

Dans la dernière question, nous allons identifier la figure formée par quatre vecteurs.

Quelle figure est formée par ces vecteurs?

Nous remarquons immédiatement sur la figure qu’il y a deux vecteurs 𝐮, du point 𝐴 au point 𝐵 et du point 𝐶 au point 𝐷. Ces vecteurs ont la même norme et le même sens. Cela signifie qu’ils sont parallèles et de même longueur. De la même manière, nous voyons que les segments 𝐴𝐶 et 𝐵𝐷 sont équivalents au vecteur 𝐯. Ces deux côtés de la figure doivent donc également être parallèles et de même longueur. Nous savons que toute figure à quatre côtés, ou quadrilatère, formé par deux couples de côtés parallèles de même longueur est un parallélogramme. Cela signifie que d’après les informations données sur le schéma, cette figure est un parallélogramme. Il existe des types spéciaux de parallélogrammes, tels que les rectangles, les carrés et les losanges. Nous n’avons cependant pas assez d’informations dans ce cas pour déterminer si ce parallélogramme est l’un d’entre eux.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Nous avons établi au début de cette vidéo qu’un vecteur doit avoir une norme, une direction et un sens. Il peut être représenté par un segment avec une flèche, comme illustré. La longueur du segment est la norme du vecteur et la flèche indique son sens. Les vecteurs en deux dimensions ont une composante en 𝑥 et une composante en 𝑦. Comme ce vecteur va vers la droite et vers le bas, sa composante en est positive et sa composante en est négative. Le vecteur se déplace de cinq unités vers la droite et de quatre unités vers le bas. Par conséquent, ses composantes sont cinq, moins quatre. Nous savons également que chaque vecteur a un point initial et un point final. Le point initial est aussi parfois appelé l’origine du vecteur, et le point final est l’extrémité du vecteur.

Nous avons de plus appris que si le vecteur 𝐀 a les composante 𝑥 un, 𝑦 un et le vecteur 𝐁 a les composantes 𝑥 deux, 𝑦 deux, alors le vecteur 𝐀𝐁 est égal au vecteur 𝐁 moins le vecteur 𝐀. Pour calculer le vecteur 𝐀𝐁, nous pouvons soustraire les composantes 𝑥 et 𝑦 séparément. Enfin, nous avons vu que la norme du vecteur 𝐯 de composantes 𝑥, 𝑦 est égale à racine carrée de 𝑥 carré plus 𝑦 carré. On note la norme avec des barres verticales et elle est égale à la racine carrée de la somme des carrés des deux composantes.

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