Transcription de la vidéo
Soit 𝑋 une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est définie par 𝑓 de 𝑥 égale un sixième de 𝑥 moins cinq lorsque 𝑥 est compris entre sept et neuf inclus et zéro sinon. Déterminez la probabilité que 𝑋 soit inférieur ou égal à huit.
Les variables aléatoires continues sont caractérisées par leur fonction de densité de probabilité. Il s’agit d’une fonction non négative qui peut être représenté sur un graphique et il se trouve que l’aire sous la courbe est égale à un. La fonction de densité de probabilité est 𝑓 de 𝑥 égale un sixième multiplié par 𝑥 moins cinq lorsque 𝑥 est compris entre sept et neuf inclus et zéro à l’extérieur de cet intervalle. On nous demande de calculer la probabilité que 𝑋 soit inférieur ou égal à huit.
Un point à retenir avec les variables aléatoires continues, c’est que les signes inférieur ou égal et inférieur sont interchangeables. Donc, pour déterminer cette probabilité, il faut calculer l’aire sous la courbe associée à cette fonction, entre zéro et huit. Mais nous savons que cette fonction est égale à zéro lorsque 𝑥 est compris entre zéro et sept. Donc, nous avons seulement besoin de calculer l’aire sous la courbe lorsque 𝑥 est compris entre sept et huit. C’est donc l’intégrale entre sept et huit de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑥.
Pour calculer cette intégrale, développons l’expression. Cela nous donne intégrale entre sept et huit de un sur six 𝑥 moins cinq sur six par rapport à 𝑥. Rappelons ensuite que pour intégrer, il faut ajouter un à l’exposant et diviser par ce nouvel exposant. Donc, commençons par intégrer un sur six 𝑥, ce qui donne un sur six 𝑥 au carré divisé par deux. Ensuite, comme cinq sur six est une constante, son intégrale est cinq sur six 𝑥. Nous pouvons en fait simplifier ce que nous avons ici car un sur six divisé par deux est égal à un sur 12.
Alors maintenant, nous devons simplement calculer entre les bornes d’intégration. Rappelons que pour faire cela, il faut remplacer 𝑥 par la borne supérieure dans l’intégrale puis soustraire l’intégrale en remplaçant 𝑥 par la borne inférieure. Pour calculer cela, nous pourrions utiliser une calculatrice, ou nous pouvons mettre ces fractions au même dénominateur, 12. Cela donne ceci. Ensuite, en simplifiant les parenthèses, nous obtenons moins 16 sur 12 moins moins 21 sur 12, ce qui donne moins 16 sur 12 plus 21 sur 12. Et nous obtenons cinq sur 12.
