Vidéo : Problèmes écrits sur les proportions

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver un terme inconnu dans une proportion et à résoudre des problèmes écrits sur des proportions impliquant des fractions, des nombres mixtes et des nombres décimaux.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons les proportions et les rapports et comment trouver une quantité inconnue dans une proportion. Commençons par penser, qu’est-ce qu’une proportion ? Imaginez que nous ayons une recette pour une salade de fruits, qui pour deux personnes demande deux pommes et trois oranges. Supposons que nous voulions plutôt faire cette salade de fruits pour quatre personnes. Nous devons doubler les quantités. Il nous faudrait plutôt quatre pommes et six oranges. Donc, on peut dire que, ici, les pommes et les oranges sont proportionnelles. On pourrait dire que deux quantités, 𝐴 et 𝐵, sont directement proportionnelles si leurs rapports sont égaux. Nous pourrions souvent voir une proportion écrite sans le mot « directement ». Dans ce cas, on pourrait supposer qu’il s’agit d’une proportion directe. On peut aussi écrire l’énoncé, leurs rapports sont égaux, de manière plus mathématique.

On peut dire que les quantités 𝐴 et 𝐵 sont directement proportionnelles si, dans une situation donnée, la quantité de 𝐴 est 𝐴 un et la quantité de 𝐵 est 𝐵 un. Et dans une situation différente, la quantité de 𝐴 est 𝐴 deux et 𝐵 est 𝐵 deux. Alors 𝐴 un sur 𝐵 un est égal à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Et 𝐴 un sur 𝐵 un est égal à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Si nous prenons notre exemple de pommes et d’oranges, alors deux pommes pour trois oranges pourraient être écrites comme le rapport deux à trois. Et c’était égal à un rapport de quatre à six, quatre pommes et six oranges. Nous pouvons dire qu’ils sont égaux parce que si nous réduisions le rapport de quatre à six à sa forme la plus simple, nous aurions deux sur trois. En tant que fraction, nous aurions pu écrire ceci comme deux tiers est égal à quatre sixièmes. Et c’est parce que notre fraction de quatre sixièmes se réduit aux deux tiers.

Voyons maintenant comment identifier une relation proportionnelle. Le premier type pourrait être décrit comme un rapport qui compare deux parties d’un tout. Si nous regardons les rapports des blocs ci-dessous, nous pouvons voir que, dans le premier ensemble, le rapport de l’orange au rose serait de trois à cinq. Dans le deuxième bloc, le rapport de l’orange au rose serait de six à 10. Puisque nous pouvons réduire le rapport de six à 10 fois à trois à cinq, alors ces deux rapports doivent être proportionnels. Puisqu’ils sont proportionnels, si nous pouvons réduire les rapports à leur forme la plus simple et ceux-ci sont équivalents. Le deuxième type de proportion que nous pourrions voir est lorsque nous avons un rapport comparant les uns aux autres et à l’ensemble.

Dans notre premier diagramme, nous pouvons voir qu’il y a 10 élèves et quatre filles. Nous pourrions l’écrire en quatre dixièmes. Dans le deuxième diagramme, nous avons deux filles et cinq élèves, que nous pourrions écrire comme les deux cinquièmes. On pourrait dire que celles-ci seraient proportionnelles si les fractions réduites étaient les mêmes. Et ici, on dirait que nous savons que les quatre dixièmes se réduisent aux deux cinquièmes. Lorsque nous discutons de proportion, nous pouvons également parler de la notion de taux unitaire. Un taux unitaire est un rapport à deux termes, qui a un deuxième terme égal à un. Ainsi, par exemple, si nous voulions trouver le taux unitaire de notre rapport de trois à cinq, cela signifie que nous aurions besoin d’un rapport équivalent avec un deuxième terme égal à un. Pour passer de cinq à un, nous divisons par cinq. Il nous faudrait donc également diviser le premier terme de notre rapport par cinq. Et nous pourrions écrire trois divisés par cinq comme trois cinquièmes ou 0,6. Donc, notre taux unitaire dans ce cas serait de 0.6 à un. Voyons maintenant quelques questions où nous trouvons des proportions.

Olivia veut agrandir une photo de quatre pouces par six pouces. Lequel des éléments suivants est proportionnel à la photo d’origine. Option A) huit pouces par 10 pouces. Option B) 18 pouces par 24 pouces. Option C) 20 pouces par 24 pouces. Option D) 16 pouces par 20 pouces. Ou option E) 24 pouces par 36 pouces.

On peut commencer cette question de proportion en rappelant que deux quantités sont proportionnelles si leurs rapports sont équivalents. Ici, nous avons notre photo qui mesure quatre pouces par six pouces. Nous pourrions écrire cela comme le rapport quatre à six. Nous pourrions agrandir la photo en multipliant à la fois la longueur et la largeur par deux, ce qui nous donne un cadre de huit pouces par 12 pouces. Et le rapport dans ce cas serait de huit à 12. On pourrait dire que ces deux-là sont en proportion puisqu’ils se réduisent tous deux au rapport deux à trois. Jetons donc un coup d’œil à l’option A, huit pouces par 10 pouces. Nous pourrions écrire ceci comme le rapport huit à 10. Cependant, nous pouvons immédiatement rejeter celui-ci, car nous avons déjà établi que notre rapport serait de huit à 12 et non de huit à 10.

Alternativement, nous aurions également pu envisager de réduire le rapport de huit à 10 en divisant les deux côtés du rapport par deux, ce qui nous donne quatre à cinq, ce qui n’est pas équivalent au rapport de deux à trois. Si vous regardez l’option B avec le rapport 18 à 24, nous verrons si nous pouvons réduire cela au rapport deux à trois. En divisant les deux parties par six, nous aurions 18 divisé par six, c’est-à-dire trois, et 24 divisé par six, c’est quatre. Comme cela n’est pas équivalent au rapport deux à trois, nous pouvons rejeter l’option B.

Dans l’option C, le rapport de 20 à 24 se réduit en cinq à six en divisant les deux côtés par quatre. Donc, cela peut également être rejeté. Dans l’option D, le rapport 16 à 20 se réduit en quatre à cinq, nous pouvons donc rejeter cela. Le rapport dans l’option E, 24 à 36, se réduit en deux à trois. Et puisque c’est le même rapport que nous obtenons en réduisant notre quantité de quatre pouces par six pouces, le rapport quatre à six, alors cela signifie qu’il est proportionnel. Donc, la photo proportionnelle à quatre pouces par six pouces est l’option E, 24 pouces par 36 pouces.

Charlotte peut taper sur son clavier 75 mots en trois minutes. Déterminez combien de mots elle peut taper en quatre minutes.

Nous pouvons répondre à cette question en utilisant deux méthodes différentes. La première méthode implique le taux unitaire. Le taux unitaire est un rapport à deux termes, qui a un deuxième terme égal à un. Alors commençons par écrire les valeurs de 75 mots et trois minutes dans un rapport de mots minutes. Comme on nous dit que c’est 75 mots en seulement trois minutes, nous pouvons écrire ceci comme le rapport 75 à trois. Pour trouver le taux unitaire, nous devons l’écrire comme un rapport où le deuxième terme est un. Comme nous pouvons le faire en divisant par trois, nous devons également diviser nos 75 par trois, ce qui nous donnera 25. À ce stade, nous avons établi qu’en une minute, Charlotte taperait 25 mots. Nous devons maintenant déterminer combien de mots elle peut taper en quatre minutes. Donc, en regardant notre rapport, nous pensons, comment passons-nous de un à quatre ? Et nous multiplions par quatre. Donc, nous devons également multiplier nos 25 par quatre, ce qui nous donne la valeur de 100. C’est donc 100 mots en quatre minutes.

Considérons maintenant une méthode alternative. On peut dire que 𝐴 et 𝐵 sont directement proportionnels, si 𝐴 un sur 𝐵 un est égal à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Et 𝐴 un sur 𝐵 un est égal à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Nos indices de un et deux se réfèrent ici aux valeurs de 𝐴 et 𝐵 dans deux situations différentes. Donc, si nous voulons écrire nos 75 mots en trois minutes sous forme de fraction, nous pourrions l’écrire simplement comme 75 sur trois. Nous pouvons mettre cela égal à 𝑥 sur quatre, où 𝑥 fait référence au nombre de mots. On peut alors résoudre pour 𝑥 par multiplication croisée. Nous prenons le produit croisé. On peut commencer par écrire 75 fois quatre égale trois fois 𝑥. Nous pouvons évaluer 75 fois quatre comme 300. Et trois fois 𝑥 peut être écrit comme trois 𝑥. Pour trouver 𝑥 par lui-même alors, nous devons diviser les deux côtés de notre équation par trois, ce qui nous donne 100 égaux 𝑥. Alors maintenant, nous savons que notre inconnu 𝑥, le nombre de mots, est de 100 mots. En utilisant l’une ou l’autre de ces méthodes, nous avons établi que Charlotte taperait 100 mots en quatre minutes.

Jetons un coup d’œil à un autre exemple où nous pouvons utiliser une fraction pour nous aider à résoudre la proportion.

Un terrain est partagé entre deux personnes dans un rapport de 13 à 10. La première personne partage est 81 mètres carrés plus grande que la deuxième personne. Quelle est la superficie totale des terres ?

Dans cette question, nous avons une relation proportionnelle entre le partage à la première personne et le partage à la deuxième personne. Lorsque nous avons une relation proportionnelle entre deux valeurs 𝐴 et 𝐵, nous pouvons dire que 𝐴 un sur 𝐵 un est égal à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Et 𝐴 un sur 𝐵 un est égal à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Les valeurs de 𝐴 un et 𝐵 un se réfèrent aux quantités de 𝐴 et 𝐵 dans la première situation. Et 𝐴 deux et 𝐵 deux font référence aux valeurs de la quantité dans une seconde situation. Alors commençons par prendre notre rapport de 13 à 10 et il écrit sous une forme fractionnée comme on peut le voir dans la définition qui serait 13 sur 10.

Pour la deuxième fraction équivalente, nous avons besoin d’un moyen de noter que la part de la première personne est de 81 mètres carrés plus grande que celle de la deuxième personne. Donc, nous allons utiliser une valeur 𝑥 pour représenter la taille de la part du deuxième personne de la terre. Lorsque la part à la première personne est de 81 mètres carrés plus grande, nous pourrions écrire ceci comme 𝑥 plus 81. Alors maintenant, nous devons résoudre cette équation pour trouver 𝑥. Nous pouvons commencer par prendre le produit croisé en nous donnant 10 fois 𝑥 plus 81 est égal à 13 fois 𝑥.

Nous multiplions ensuite le 10 par chaque terme entre parenthèses, en commençant par 10 fois 𝑥, ce qui est 10𝑥, puis 10 fois 81, ce qui est 810. Et nous pouvons écrire nos 13 fois 𝑥 comme 13𝑥. Nous pouvons alors continuer en soustrayant 10𝑥 des deux côtés de notre équation, ce qui nous donne 810 égal à trois 𝑥, car 13𝑥 à emporter 10𝑥 est trois 𝑥. Pour trouver 𝑥, nous divisons les deux côtés de notre équation par trois. Donc 𝑥 est égal à 270 mètres carrés. Alors maintenant, nous savons que la deuxième part de personne, la valeur 𝑥, est de 270 mètres carrés. Pour trouver le partage à la première personne, nous calculerions 270 plus 81, ce qui fait 351 mètres carrés. Nous devons maintenant déterminer la superficie totale des terres. Donc, nous ajoutons 351 et 270 nous donnant 621 carrés mètres.

Dans la question suivante, nous verrons un exemple d’un autre type de question de proportion. Nous devrons être très prudents pour appliquer un bon raisonnement ainsi que de bonnes compétences mathématiques.

Il a fallu à trois personnes deux heures et demie pour peindre une grande pièce. Combien de temps faudrait-il à six personnes pour peindre la même pièce en supposant qu’elles travaillent toutes au même rythme ?

Commençons par considérer cela comme un rapport entre les personnes et le temps pris. Donc, pour trois personnes, prenant deux et trois heures pour peindre une pièce, nous pourrions écrire ceci comme le rapport trois à deux et un tiers. Nous devons déterminer pour six personnes combien de temps cela prendra-t-il pour peindre la même pièce. Il serait très facile de penser que nous devons simplement multiplier par deux. Cependant, nous devons réfléchir attentivement au problème présenté. Si nous peignions une pièce et que nous demandions à quelqu’un de nous aider, nous attendrions-nous à ce que cela prenne plus de temps ou que ce soit plus court ? Nous nous attendrions à ce que plus de gens prennent moins de temps. Ici, nous avons un exemple de proportion inverse. Dans une proportion inverse, à mesure qu’une variable augmente, l’autre variable diminue. Ici, à mesure que le nombre de personnes augmente, le temps nécessaire diminue en fait.

Donc, pour répondre à cette question, prenons la variable 𝑡 pour représenter le temps pris. Nous pouvons écrire que trois fois deux et un troisième est égal à six fois 𝑡. Le côté gauche de notre équation représente le temps total pris par nos trois personnes passant deux et trois heures chacune à peindre la pièce. Nous pouvons simplifier notre équation en écrivant trois fois sept sur trois est égal à six 𝑡, puisque notre fraction de membre mixte deux et un tiers deviennent sept sur trois comme une fraction impropre. Puisque nos trois sur le côté gauche seront annulés, nous avons alors sept égal à six 𝑡. Pour trouver 𝑡 alors, nous pouvons diviser les deux côtés de notre équation par six, ce qui nous donne sept sur six. Nous pourrions également écrire ceci comme un et un sixième. Donc, notre réponse finale est alors qu’il faut six personnes et un sixième d’une heure pour peindre la pièce.

Vérifions notre réponse en considérant cette proportion inverse. Nous savons qu’il faut trois personnes deux et un tiers d’une heure pour peindre la pièce. Nous savons que nous envisageons six personnes et nous devons multiplier trois par deux pour avoir six. Le temps pris par trois personnes est de deux heures et demie. Et nous avons établi que nous ne multiplions pas cette valeur par deux. Cependant, comme il existe une proportion inverse, les valeurs sont toujours proportionnelles d’une manière ou d’une autre. L’inverse de multiplier par deux serait de diviser par deux, ce qui équivaut à multiplier par un demi. Ainsi, lorsque nous divisons deux et un tiers par deux, nous obtenions une heure et un sixième, ce qui confirmerait notre réponse originale d’une heure et un sixième.

Maintenant, résumons les points clés que nous avons appris dans cette vidéo. Les quantités 𝐴 et 𝐵 sont directement proportionnelles si, dans une situation donnée, la quantité de 𝐴 est 𝐴 un et 𝐵 est 𝐵 un. Et dans une situation différente, la quantité de 𝐴 est 𝐴 deux et de 𝐵 est 𝐵 deux. Ensuite, 𝐴 un sur 𝐵 un équivaut à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Et 𝐴 un sur 𝐵 un est égal à 𝐴 deux sur 𝐵 deux. Nous pourrions résumer cela en disant que deux quantités sont directement proportionnelles si leurs rapports sont équivalents.

Nous avons également appris le taux unitaire, qui est un rapport à deux termes où le deuxième terme est un. Nous avons également vu un exemple de question impliquant une proportion inverse, c’est-à-dire lorsqu’une variable augmente, l’autre diminue. Donc, lorsque nous répondons à une question sur la proportion, nous devons également utiliser nos capacités de logique et de raisonnement. Étant donné que dans une question impliquant une relation avec une proportion inverse, les règles de proportion directe ne leur seraient pas applicables.

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