Transcription de la vidéo
Soit 𝑓 de 𝑥 la fonction définie par morceaux par cinq 𝑎 plus 𝑏𝑥 au carré si 𝑥 est strictement inférieur à moins deux. 𝑓 de 𝑥 égal cinq quand 𝑥 égal moins deux. 𝑓 de 𝑥 égal 𝑎𝑥 moins trois 𝑏 quand 𝑥 est strictement supérieur à moins deux. Déterminez les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour que 𝑓 soit continue en 𝑥 égal moins deux. Que peut-on dire de la dérivabilité de 𝑓 en ce point ?
Dans cette question, on nous demande d’abord de déterminer les valeurs de 𝑎 et 𝑏 pour que la fonction 𝑓 soit continue au point 𝑥 égale moins deux. On nous demande ensuite de vérifier si la fonction 𝑓 est dérivable au point 𝑥 égale moins deux. Nous pouvons commencer par nous demander quand est-ce qu’une fonction est continue en un point.
Rappelons qu’une fonction 𝑓 est continue en un point 𝑎 si la limite de la fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 peut être calculée et est égale à 𝑓 de 𝑎. Dans notre cas, nous avons besoin que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux soit égale à 𝑓 de moins deux. Nous pouvons voir dans l’énoncé que 𝑓 de moins deux est égal à cinq. Ainsi, pour montrer que la fonction 𝑓 est continue, nous devons montrer que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est égale à cinq.
Nous pouvons donc maintenant nous demander, comment calculer la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux. Nous savons par définition que la limite d’une fonction lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿 lorsque la limite à gauche et à droite de cette fonction est égale à 𝐿. Ainsi, puisqu’on nous dit que la fonction 𝑓 est continue et que nous savons que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux est égale à cinq, nous savons également que la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche est égale à cinq. De même, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite est égale à cinq.
Commençons donc avec la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux à gauche, nous savons qu’elle est égale à cinq. Nous avons que 𝑥 tend vers moins deux par la gauche. Ainsi, 𝑥 est inférieur à moins deux. Dans l’énoncé, nous pouvons voir que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à cinq 𝑎 plus 𝑏𝑥 au carré quand 𝑥 est strictement inférieur à moins deux. Ainsi, puisque ces fonctions sont égales, quand 𝑥 est inférieur à moins deux, nous pouvons remplacer 𝑓 de 𝑥 dans la limite à gauche par ce polynôme.
Puisque nous essayons maintenant de calculer la limite d’une expression du second degré, nous pouvons directement procéder par substitution. La limite est donc égale à cinq 𝑎 plus 𝑏 multiplié par moins deux au carré, ce qui se simplifie en cinq est égal à cinq 𝑎 plus quatre 𝑏. Nous pouvons maintenant appliquer une méthode similaire pour calculer la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers moins deux par la droite. Le résultat obtenu est encore égal à cinq parce que dans l’énoncé, on nous dit que la fonction 𝑓 est continue en 𝑥 égal moins deux.
Nous voyons que comme 𝑥 tend vers moins deux par la droite, 𝑥 est supérieur à moins deux. Dans l’énoncé, nous pouvons voir que la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 moins trois 𝑏 lorsque que 𝑥 est supérieur à moins deux. Puisque la fonction 𝑓 de 𝑥 est égale à 𝑎𝑥 moins trois 𝑏 lorsque 𝑥 est supérieur à moins deux, nous pouvons simplement remplacer 𝑓 de 𝑥 dans la limite par 𝑎𝑥 moins trois 𝑏.
Nous pouvons maintenant calculer la limite d’une fonction linéaire par substitution. Cela nous donne que la limite est égale à 𝑎 multiplié par moins deux moins trois 𝑏, ce qui se simplifie en moins deux 𝑎 moins trois 𝑏. Cela nous donne deux équations à vérifier pour 𝑎 et 𝑏. Nous avons donc un système d’équations que nous pouvons résoudre. Nous pouvons éliminer le terme 𝑎 en multipliant la première équation par deux et la deuxième par cinq.
La simplification de la première équation nous donne 10 est égal à 10𝑎 plus huit 𝑏. En simplifiant la deuxième équation, nous obtenons 25 est égal à moins 10𝑎 moins 15𝑏. Nous additionnons ensuite ces deux équations, ce qui nous donne 10 plus 25 est égal à 10𝑎 plus huit 𝑏 additionnés à moins 10𝑎 moins 15𝑏. Alors, en simplifiant cela, nous obtenons 35 est égal à moins sept 𝑏. Ce que nous pouvons alors résoudre pour obtenir que 𝑏 est égal à moins cinq.
Nous pouvons alors remplacer la valeur de 𝑏 par moins cinq dans la première équation. Cela nous donne que cinq est égal à cinq 𝑎 plus quatre multiplié par moins cinq. Nous pouvons résoudre ceci pour obtenir que 𝑎 est égal à cinq. Nous pouvons alors remplacer 𝑎 par cinq et 𝑏 par moins cinq dans la définition de la fonction 𝑓 de 𝑥 et nous avons 𝑓 de 𝑥 égal à cinq multiplié par cinq plus moins cinq multiplié par 𝑥 au carré si 𝑥 est strictement inférieur à moins deux. 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq si 𝑥 est égal à moins deux. 𝑓 de 𝑥 est égal à cinq 𝑥 moins trois multiplié par moins cinq si 𝑥 est strictement supérieur à moins deux.
Nous pouvons alors simplifier la définition par morceaux de la fonction 𝑓 de 𝑥 pour obtenir une nouvelle définition de 𝑓 de 𝑥. Bien, faisons un peu de place et parlons de la dérivabilité de la fonction 𝑓 au point 𝑥 égal moins deux. Nous pouvons dériver séparément chaque partie de la fonction définie par morceaux et nous allons ignorer la partie où 𝑓 de 𝑥 égale cinq, car cela ne concerne qu’un seul point.
Cela nous donne la définition par morceaux suivante pour la fonction dérivée, 𝑓 prime de 𝑥. Nous pouvons utiliser la règle sur les puissances pour calculer ces dérivées, ce qui nous donne que la fonction dérivée 𝑓 prime de 𝑥 est égale à moins 10𝑥 si 𝑥 est strictement inférieure à moins deux et cinq si 𝑥 est strictement supérieure à moins deux. Enfin, il faut vérifier que les limites de 𝑓 prime de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux par la gauche et par la droite concordent. Si les limites à gauche et à droite concordent, nous pouvons dire que la fonction est dérivable au point 𝑥 égal moins deux. Si elles ne concordent pas alors nous pouvons conclure que la fonction n’est pas dérivable au point 𝑥 égal moins deux.
Pour la limite à droite, comme 𝑥 tend vers moins deux par la droite, 𝑥 est supérieur à moins deux. Ainsi, nous avons que 𝑓 prime de 𝑥 est égal à moins 10𝑥, ce qui nous donne la limite de moins 10𝑥 lorsque 𝑥 tend vers moins deux à droite. Puisque moins 10𝑥 est une fonction linéaire, nous pouvons calculer la limite directement par substitution, ce qui nous donne moins 10 multiplié par moins deux. Ceci donne simplement 20.
De même, pour la limite lorsque 𝑥 tend vers moins deux par la gauche, il faut que 𝑥 soit inférieur à moins deux. Ainsi, la fonction, 𝑓 prime de 𝑥, est égale à cinq, ce qui nous donne la limite de cinq lorsque 𝑥 tend vers moins deux par la gauche. Nous savons que pour toute constante 𝑘, la limite de 𝑘 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑘. Ainsi, nous pouvons calculer la limite de cinq et elle est simplement égale à cinq. À ce point, nous pouvons tracer les courbes pour mieux visualiser ce que nous avons montré.
Les courbes de la fonction 𝑓 de 𝑥 définie par morceaux se croisent lorsque 𝑥 est égal à moins deux. La raison pour laquelle nous obtenons un angle ici est que la courbe de 𝑦 égal cinq 𝑥 moins 15 a un gradient constant de cinq. Seulement, la courbe de 𝑦 égal 25 moins cinq 𝑥 au carré a un gradient qui se rapproche de 20 en moins deux. La différence entre ces deux valeurs montre que la fonction 𝑓 n’est pas dérivable au point 𝑥 égale moins deux.
Ainsi, pour résumer ce que nous avons obtenu, nous savons que 𝑎 est égal à cinq, 𝑏 est égal à moins cinq et que la fonction 𝑓 de 𝑥 n’est pas dérivable au point 𝑥 est égal moins deux.
