Vidéo question :: Utiliser les propriétés des quadrilatères inscriptibles pour résoudre un problème Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans un quadrilatère inscriptible 𝐴𝐵𝐶𝐷, si la mesure de l’angle 𝐴 égale trois fois la mesure de l’angle 𝐵 égale deux fois la mesure de l’angle 𝐶, déterminez la mesure de l’angle 𝐷.

Commençons par rappeler ce qu’est un quadrilatère inscriptible. Un quadrilatère inscriptible est un polygone à quatre côtés dont les sommets sont inscrits sur un cercle. On nous dit que la mesure de l’angle 𝐴 est trois fois la mesure de l’angle 𝐵, qui est deux fois la mesure de l’angle 𝐶. Ainsi, sur ces trois angles, l’angle 𝐴 est le plus grand, suivi de l’angle 𝐶 puis de l’angle 𝐵.

On nous demande de trouver la mesure de l’angle 𝐷. Faisons donc un croquis de ce quadrilatère inscriptible pour nous aider à visualiser le problème. On ne nous a donné aucun angle que nous puissions marquer sur cette figure. Mais essayons plutôt d’écrire une expression pour chaque angle. On sait que 𝐴 est le plus grand angle. Il vaut trois fois la mesure de l’angle 𝐵 et deux fois la mesure de l’angle 𝐶. Alors disons que la mesure de l’angle 𝐴 est de six 𝑥, car six est un multiple de trois et de deux. Alors, l’angle 𝐵 devrait valoir deux 𝑥 car 𝐴 vaut trois fois la mesure de l’angle 𝐵. Et l’angle 𝐶 devrait valoir trois 𝑥 car 𝐴 est deux fois la mesure de l’angle 𝐶. Et appelons l’angle 𝐷 𝑦 parce que nous n’avons aucune information sur la mesure de l’angle 𝐷.

Alors maintenant, afin de nous aider à déterminer la valeur de 𝑥 et 𝑦, rappelons ce que nous savons des angles dans un quadrilatère. Nous savons que la somme des angles dans un quadrilatère fait 360 degrés. Mais cela ne nous aidera pas à trouver 𝑥 et 𝑦. Alors rappelons qu’il s’agit d’un quadrilatère inscriptible. Et cela signifie que ce quadrilatère a des propriétés spéciales. En particulier, nous pouvons rappeler que les mesures des angles opposés dans un quadrilatère inscriptible sont complémentaires. C’est-à-dire qu’ils font 180 degrés. Par conséquent, la mesure de l’angle 𝐴 plus la mesure de l’angle 𝐶 doit être égale à 180 degrés. Et la mesure de l’angle 𝐵 plus la mesure de l’angle 𝐷 doit également être égale à 180 degrés.

Maintenant, rappelez-vous, nous avons écrit des expressions pour les mesures des angles 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷. Remplaçons donc ces expressions. Nous avons défini la mesure de l’angle 𝐴 comme six 𝑥 et la mesure de l’angle 𝐶 comme trois 𝑥. Nous avons donc que six 𝑥 plus trois 𝑥 est égal à 180 degrés. Nous pouvons simplifier cela à neuf 𝑥 est égal à 180 degrés. Et puis en divisant les deux côtés par neuf, nous avons que 𝑥 est égal à 20 degrés.

En revenant au diagramme, nous avons défini l’angle 𝐴 comme six 𝑥 degrés. Six fois 20 donne 120, donc l’angle 𝐴 a une mesure de 120 degrés. L’angle 𝐶 a été défini comme trois 𝑥, et trois fois 20 donne 60. Donc, l’angle 𝐶 a une mesure de 60 degrés. Et pour vérifier, ces mesures d’angle opposés de 120 degrés et 60 degrés totalisent en effet 180 degrés. L’angle 𝐵 a été défini comme deux 𝑥, et deux fois 20 donne 40. Il vaut donc 40 degrés.

Maintenant, nous devons trouver la mesure de l’angle 𝐷. Il y a plusieurs façons de le faire. Mais utilisons la formule que nous avons déjà écrite. La mesure de l’angle 𝐵 plus la mesure de l’angle 𝐷 est égale à 180 degrés. Nous savons maintenant que la mesure de l’angle 𝐵 est de 40 degrés. Et en soustrayant 40 degrés des deux côtés, nous avons que la mesure de l’angle 𝐷 est de 140 degrés.

Nous pouvons vérifier que notre réponse de 140 degrés est correcte de plusieurs façons, par exemple, en utilisant la propriété disant que les angles opposés de 40 degrés et 140 degrés font 180 degrés ou bien que la somme de tous les angles dans ce quadrilatère cyclique est de 360 degrés, confirmant ainsi que la mesure de l’angle 𝐷 est de 140 degrés.