Vidéo : Les racines 𝑛 ième de l’unité

Dans cette vidéo, nous apprendrons comment trouver les racines 𝑛 ième de l’unité et explorer leurs propriétés.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à trouver les racines 𝑛 ième de l’unité et à explorer leurs propriétés. Nous allons commencer par apprendre ce que nous entendons par les racines 𝑛 ième de l’unité et trouver leur forme générale. Nous allons ensuite calculer leur somme et trouver les propriétés de leur réciproque avant de découvrir l’application des racines 𝑛 ième de l’unité et leurs propriétés géométriques.

Si 𝑧 est une racine 𝑛 ième de l’unité, alors il satisfait la relation 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à un.

Nous pouvons utiliser le théorème de de Moivre pour nous aider à résoudre cette équation et ainsi trouver la forme générale des racines 𝑛 ième de l’unité. Le théorème de de Moivre pour les racines stipule que, pour un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique, 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, ses racines 𝑛 ième sont données par 𝑟 à la puissance un fois sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛. Et 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un.

Pour résoudre l’équation 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à un, nous commencerons par écrire le nombre un sous forme trigonométrique. Celui dont la partie réelle est une et dont la partie imaginaire est zéro est un nombre assez facile à écrire sous forme trigonométrique. Si nous en représentons un sur un diagramme d’Argand, nous voyons qu’il peut être représenté par les points dont les coordonnées cartésiennes sont un, zéro. Le module de ce nombre, qui est 𝑅 sous la forme générale de notre nombre complexe, est la longueur du segment de droite qui relie ce point à l’origine. Son module doit donc être d’une unité. L’argument est la mesure de l’angle que ce segment de droite fait avec l’axe réel positif. Et cela se mesure dans le sens antihoraire. On voit que son argument doit être nul.

Et on peut donc dire que l’on est égal à un fois cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Les racines 𝑛 ième de l’unité, c’est-à-dire les racines 𝑛 ième de un, sont donc données par un fois cos de zéro plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de zéro plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 pour les valeurs de 𝑘 entre zéro, deux, 𝑛 moins un.

Nous pouvons simplifier quelque peu cette expression. Et nous voyons que les racines 𝑛 ième de l’unité sont données par cos de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, qui sous forme exponentielle est 𝑒 de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 𝑖. Et c’est pour des valeurs de 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un. Il est important de réaliser que c’est la définition des racines 𝑛 ième de l’unité. Elle doit être apprise et rappelée lors de la recherche des racines 𝑛 ième de l’unité. Maintenant que nous en avons déduit, il n’est absolument pas nécessaire d’utiliser à chaque fois le théorème de Moivre. Dans nos deux exemples suivants, nous allons voir comment appliquer cette formule pour trouver la racine 𝑛 ième de l’unité.

Trouvez les racines cubiques de l’unité et tracez-les sur un diagramme d’Argand.

Trouver les racines cubiques de l’unité revient à dire quelles sont les solutions à l’équation 𝑧 au cube est égal à un. Pour les trouver, nous pouvons utiliser la formule générale des racines 𝑛 ième de l’unité. C’est cos de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 pour des valeurs entières de 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un. Puisque nous trouvons les racines cubiques de l’unité, dans cet exemple, notre valeur de 𝑛 est trois, ce qui signifie que 𝑘 prendra les valeurs zéro, un et deux.

Commençons par le cas où 𝑘 est égal à zéro. Cette racine est cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Eh bien, cos de zéro est un. Et le sin de zéro est nul. La première racine est donc un. Et il est tout à fait logique si nous y pensons qu’une solution à l’équation 𝑧 au cube est égale à un serait un.

Ensuite, nous posons 𝑘 égal à un. Cette racine est cos de deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de deux 𝜋 sur trois. Et sous forme exponentielle, c’est 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖. Enfin, nous posons 𝑘 égal à deux. La racine ici est cos quatre 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de quatre 𝜋 sur trois. Notez cependant que l’argument de cette racine est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. On soustrait donc deux 𝜋 de quatre 𝜋 sur trois pour obtenir moins deux 𝜋 sur trois. Donc, notre troisième et dernière racine est cos de moins deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de moins deux 𝜋 sur trois. Ou sous forme exponentielle, c’est 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖.

Maintenant que nous avons les racines cubiques de l’unité, nous devons les tracer sur un diagramme d’Argand. Nous pouvons aborder ce problème de deux manières. Nous pourrions convertir chaque nombre sous forme algébrique. C’est un, moins un demi plus racine trois sur deux 𝑖, et moins un demi moins racine trois sur deux 𝑖. Celles-ci sont tracées sur le diagramme d’Argand comme indiqué. Alternativement, nous aurions pu utiliser le module et l’argument de chaque racine.

Quoi qu’il en soit, notons que les points qui représentent ces nombres complexes sont les sommets d’un triangle équilatéral. Ce triangle est inscrit dans un cercle unité dont le centre est l’origine. En fait, une propriété géométrique intéressante des racines 𝑛 ième de l’unité est que, sur un diagramme d’Argand, elles sont toutes régulièrement espacées autour du cercle unité dont le centre est l’origine. Ils forment un 𝑛-gone régulier. Il a un sommet au point dont les coordonnées cartésiennes sont un, zéro.

Nous étudierons cette propriété un peu plus loin dans la vidéo.

Trouvez les racines sixièmes de l’unité.

Trouver les racines sixièmes de l’unité revient à résoudre l’équation 𝑧 à la puissance six est égal à un. Nous utiliserons à nouveau la formule générale des racines 𝑛 ième de l’unité. Ils sont cos de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, lorsque 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Dans cet exemple, nous cherchons à trouver les racines sixièmes de l’unité. Donc 𝑛 vaut six. Et 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à cinq. La première racine est trouvée lorsque 𝑘 est égal à zéro. C’est cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro, qui est un.

Maintenant, en fait, nous venons de voir que, sur un diagramme d’Argand, les points qui représentent les racines 𝑛 ième de l’unité forment un 𝑛-gone régulier avec un sommet au point un, zéro. Voilà cette racine. Pour la deuxième racine, on pose 𝑘 égal à un. C’est cos de deux 𝜋𝑘 sur six plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur six. L’argument ici se simplifie en 𝜋 sur trois. Et nous pourrions également écrire ceci sous forme exponentielle comme 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖. Lorsque 𝑘 est égal à deux, notre racine est cos de quatre 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de quatre 𝜋 sur six. Et cet argument se simplifie en deux 𝜋 sur trois.

Lorsque 𝑘 est égal à trois, nous avons cos de six 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de six 𝜋 sur six, ce qui est moins un. Et puis, lorsque 𝑘 est égal à quatre, nous avons cos de huit 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de huit 𝑖 sur six. Maintenant ici, l’argument se simplifie en quatre 𝜋 sur trois. Et cela est en dehors de l’intervalle de l’argument principal. On soustrait donc deux 𝜋 de quatre 𝜋 sur trois pour obtenir moins deux 𝜋 sur trois. Et sous forme exponentielle, notre racine cinquième est 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖. Enfin, lorsque 𝑘 est égal à cinq, nous obtenons cos de 10𝜋 sur six plus 𝑖 sin de 10𝜋 sur six. Cette fois, l’argument se simplifie en cinq 𝜋 sur trois, ce qui est encore une fois en dehors de l’intervalle de l’argument principal. Cinq 𝜋 sur trois moins deux 𝜋 est moins 𝜋 sur trois. Et nous voyons donc que, sous forme exponentielle, notre racine finale est 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖.

Et nous avons les racines sixièmes de l’unité. Sous forme exponentielle, elles sont un, 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, moins un, 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖. Nous pourrions tracer les racines sixièmes de l’unité sur un diagramme d’Argand. Et nous verrions que les points représentant ces racines forment les sommets d’un hexagone régulier inscrit dans un cercle unité comme indiqué.

À ce stade, il convient également de noter une définition supplémentaire. Nous disons qu’une racine primitive de l’unité est une racine qui n’est pas aussi une racine 𝑘 ième de l’unité, où 𝑘 est inférieur à 𝑛. Ainsi, dans cet exemple, les racines primitives sont lorsque 𝑘 est égal à un et 𝑘 est égal à cinq puisque les racines lorsque 𝑘 est égal à deux et 𝑘 est égal à quatre sont également des racines cubiques d’unité. Et quand 𝑘 est égal à zéro et 𝑘 est égal à trois, ce sont les racines carrées de l’unité. En d’autres termes, ils sont la racine carrée de un.

Nous examinerons plus en détail la relation entre les différentes racines de l’unité plus loin dans cette vidéo. Il est utile de savoir que nous utilisons souvent le symbole 𝜔 pour désigner la racine primitive de l’unité avec le plus petit argument strictement positif. Dans le cas des racines sixièmes de l’unité, ce serait 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖. Fait intéressant, ses autres racines sont toutes des puissances de 𝜔. Maintenant, il est hors de portée de cette vidéo de vouloir explorer davantage cette propriété. Mais c’est une question intéressante sur laquelle vous voudrez peut-être enquêter. Maintenant, nous avons quelques définitions et le processus que nous devons suivre pour trouver les racines 𝑛 ième de l’unité, examinons les propriétés de la somme des racines 𝑛 ième de l’unité.

Trouvez la somme des racines sixièmes de l’unité.

Maintenant, nous avons déjà calculé les racines sixièmes de l’unité. Sous forme trigonométrique, elles sont comme indiqué. Nous allons les changer en forme algébrique. La deuxième racine est la moitié plus la racine trois sur deux 𝑖. La troisième racine est moins un demi plus la racine de trois sur deux 𝑖. La racine cinquième est moins un demi racine moins trois sur deux 𝑖. Et la racine finale est un demi racine moins trois sur deux 𝑖. Et donc leur somme est comme indiqué.

Et nous pouvons trouver la somme de nombres complexes écrits sous forme algébrique en additionnant leurs parties réelles et en ajoutant séparément leurs parties imaginaires. Nous allons commencer par les parties réelles. Un plus moins un est zéro. Un demi plus moins un demi est nulle. Et moins un demi plus un demi est également nul. Et qu’en est-il des parties imaginaires ? Eh bien, la racine trois sur deux moins la racine trois sur deux est nulle. Et encore une fois, la racine trois sur deux moins la racine trois sur deux est nulle. Et donc la somme des racines sixièmes de l’unité est nulle.

Maintenant, ce n’est pas vraiment un processus que vous devez suivre à chaque fois. C’est vraiment un moyen d’arriver à une fin puisque nous pouvons en fait généraliser cela. En général, la somme des racines 𝑛 ième de l’unité, lorsque 𝑛 est supérieur à un, est toujours nulle. Et c’est un autre résultat qui doit être appris et appliqué si nécessaire.

Pour notre prochain exemple, nous allons voir comment trouver la réciproque pour les racines 𝑛 ième de l’unité.

Soit 𝑧 une racine 𝑛 ième de l’unité et 𝑘 un entier positif. Lequel des énoncés suivants est la relation correcte entre l’inverse de 𝑧 et 𝑧 ? Est-ce que a) l’inverse de 𝑧 est égal à 𝑧. Est-ce b) l’inverse de 𝑧 est égal à moins 𝑧. Est-ce c) l’inverse de 𝑧 est égal à l’opposé du conjugué de 𝑧. Ou est-ce d) l’inverse de 𝑧 est égal au conjugué de 𝑧.

Pour déterminer laquelle de ces relations est la bonne, nous allons d’abord évaluer 𝑧 à la puissance moins un ou de l’inverse de 𝑧. Puisque 𝑧 est une racine 𝑛 ième de l’unité, nous pouvons dire que 𝑧 peut être écrit comme 𝑒 dans le 𝑖𝜃, où 𝜃 est deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 et 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Cela signifie que 𝑧 puissance moins un est le même que 𝑒 de 𝑖𝜃 puissance moins un, ce qui est identique à 𝑒 de moins 𝑖𝜃.

Ensuite, nous rappelons la propriété du conjugué d’un nombre complexe écrit sous une forme exponentielle. Nous savons que le conjugué de 𝑟𝑒 au 𝑖𝜃 est 𝑟𝑒 de moins 𝑖𝜃. Et cela signifie que 𝑧 puissance moins un est égal au conjugué de 𝑧 puisque nous avons défini 𝑧 comme étant 𝑒 de 𝑖𝜃. Et nous pouvons donc voir que l’inverse de 𝑧 ou 𝑧 à la puissance moins un est égal au conjugué de 𝑧. La bonne réponse est d).

Et cette définition peut être quelque peu étendue un peu. On peut dire que l’inverse de la racine 𝑛 ième de l’unité est son conjugué complexe. Mais c’est aussi une racine 𝑛 ième de l’unité.

Nous allons examiner une autre définition. Et puis, nous avons un exemple de cette définition pour les propriétés géométriques des racines 𝑛 ième de l’unité. Nous allons commencer par examiner comment les racines 𝑛 ième de l’unité sont liées pour différentes valeurs de 𝑛.

Quelle est la relation entre les racines cubiques de l’unité et les racines sixièmes de l’unité ?

Nous avons brièvement examiné cette idée. Nous avons déjà vu que les racines cubiques sont un, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖. Et nous avons également vu que les racines sixièmes de l’unité sont un, 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, moins un, 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖. Nous pouvons voir que toutes les racines cubiques de l’unité sont aussi les racines sixièmes de l’unité. Et nous avons examiné celui-ci lorsque nous discutions du concept des racines primitives de l’unité.

Étendons cette idée à une définition. On peut dire que si 𝑛 est égal au produit de quelques autres 𝑚 et 𝑝, alors les racines 𝑚 ième de l’unité sont aussi les racines 𝑛 ième de l’unité. De même, les racines 𝑝 ième de l’unité doivent également être les racines 𝑛 ième de l’unité. On peut dire que les racines communes de 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un égal à zéro et 𝑧 à la puissance 𝑚 moins un égal à zéro doivent être les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand diviseur commun de 𝑚 et 𝑛.

Prenons un exemple utilisant les applications des propriétés des racines 𝑛 ième de l’unité.

Deux polygones réguliers sont inscrits dans le même cercle. Le premier a 1731 côtés. Et le second a 4039. Si les deux polygones ont au moins un sommet en commun, combien de sommets au total coïncideront ?

Rappelez-vous, l’interprétation géométrique des racines 𝑛 ième de l’unité sur un diagramme d’Argand est comme les sommets d’un 𝑛-gone régulier inscrits dans un cercle unité dont le centre est l’origine. Cela signifie alors que nous pouvons dire que, pour résoudre ce problème, nous devons trouver le nombre de racines communes de 𝑧 à la puissance 1731 moins un égal à zéro et 𝑧 à la puissance 4039 moins un égal à zéro. Rappelez-vous, les racines communes de 𝑧 à la puissance 𝑚 moins un est égal à zéro et 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un est égal à zéro sont les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un est égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand diviseur commun de 𝑚 et 𝑛.

Nous savons donc que les racines communes de nos deux équations sont les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand diviseur commun de 1731 et 4039. Et cela signifie que si nous pouvons trouver la valeur de 𝑑, le plus grand diviseur commun de 1731 et 4039, qui nous dira combien de racines communes il y a réellement. En tant que produit de leurs facteurs premiers, ils peuvent s’écrire respectivement trois fois 577 et sept fois 577. Donc, leur plus grand diviseur commun et la valeur de 𝑑 est 577. Et cela signifie que tant que les polygones auront un sommet en commun, ils auront en fait un total de 577 sommets qui coïncident.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons trouver les racines 𝑛 ième de l’unité et les exprimer sous forme trigonométrique ou exponentielle. Sous forme exponentielle, ils sont 𝑒 de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 𝑖, où 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Nous avons vu que si nous représentons ces racines sur un diagramme d’Argand, les points qui les représentent à partir des sommets d’un 𝑛-gone régulier inscrits dans un cercle unité dont le centre se trouve à l’origine.

Nous avons également vu que la somme des racines 𝑛 ième de l’unité est nulle pour des valeurs de 𝑛 supérieures à un. Et nous avons vu que l’inverse d’une racine 𝑛 ième d’unité est égal au conjugué complexe de cette racine. Et c’est aussi en soi une racine 𝑛 ième de l’unité. Enfin, nous avons vu que nous pouvons trouver les racines communes de 𝑧 à la puissance 𝑚 moins un égal à zéro et 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un égal à zéro en trouvant les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand commun diviseur de 𝑚 et 𝑛. Et nous avons brièvement examiné l’application géométrique de ce fait.

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