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Vidéo de la leçon : Racines 𝑛-ièmes de l’unité Mathématiques

Dans cette leçon, nous apprendrons comment utiliser le théorème de Moivre pour trouver les racines 𝑛-ièmes de l’unité et explorer leurs propriétés.

17:03

Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous apprendrons à déterminer les racines 𝑛-ièmes de l’unité et à explorer leurs propriétés. Nous allons commencer par apprendre ce que nous entendons par les racines 𝑛-ièmes de l’unité et par déterminer leur forme générale. Nous allons ensuite calculer leur somme et déterminer les propriétés de leur inverse avant de découvrir l’application des racines 𝑛-ièmes de l’unité et leurs propriétés géométriques.

Si 𝑧 est une racine 𝑛-ième de l’unité, alors il satisfait la relation 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à un.

Nous pouvons utiliser le théorème de Moivre pour nous aider à résoudre cette équation et ainsi déterminer la forme générale des racines 𝑛-ièmes de l’unité. Le théorème de Moivre pour les racines stipule que, pour un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique, 𝑟 cos 𝜃 plus 𝑖 sin 𝜃, ses racines 𝑛-ièmes sont données par 𝑟 à la puissance un sur 𝑛 fois cos de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de 𝜃 plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛. Et 𝑘 prend les valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un.

Pour résoudre l’équation 𝑧 à la puissance 𝑛 est égal à un, nous commencerons par écrire le nombre un sous forme trigonométrique. Celui dont la partie réelle est un et dont la partie imaginaire est zéro est un nombre assez facile à écrire sous forme trigonométrique. Si nous représentons un sur un plan complexe, nous voyons qu’il peut être représenté par le point dont les coordonnées cartésiennes sont un, zéro. Le module de ce nombre, qui est 𝑅 sous la forme générale de notre nombre complexe, est la longueur du segment de droite qui relie ce point à l’origine du repère. Son module doit donc être d’une unité. L’argument est la mesure de l’angle que ce segment de droite forme avec l’axe réel positif. Et cela se mesure dans le sens trigonométrique. On voit que son argument doit être nul.

Et on peut donc dire que un est égal à un fois cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Les racines 𝑛-ièmes de l’unité, c’est-à-dire les racines 𝑛-ièmes de un, sont donc données par un fois cos de zéro plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de zéro plus deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 pour les valeurs de 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un.

Nous pouvons simplifier quelque peu cette expression. Et nous voyons que les racines 𝑛-ièmes de l’unité sont données par cos de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, qui sous forme exponentielle est 𝑒 de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 𝑖. Et c’est pour des valeurs de 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un. Il est important de réaliser que c’est la définition des racines 𝑛-ièmes de l’unité. Elle doit être apprise et rappelée lors de la recherche des racines 𝑛-ièmes de l’unité. Maintenant que nous avons déduit ceci, il n’est absolument pas nécessaire d’utiliser à chaque fois le théorème de Moivre. Dans nos deux exemples suivants, nous allons voir comment appliquer cette formule pour déterminer la racine 𝑛-ième de l’unité.

Déterminez les racines cubiques de l’unité et placez-les sur un plan complexe.

Déterminer les racines cubiques de l’unité revient à dire quelles sont les solutions à l’équation 𝑧 au cube est égal à un. Pour les déterminer, nous pouvons utiliser la formule générale des racines 𝑛-ièmes de l’unité. C’est cos de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 pour des valeurs entières de 𝑘 entre zéro et 𝑛 moins un. Puisque nous déterminons les racines cubiques de l’unité, dans cet exemple, notre valeur de 𝑛 est trois, ce qui signifie que 𝑘 prendra les valeurs zéro, un et deux.

Commençons par le cas où 𝑘 est égal à zéro. Cette racine est cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro. Eh bien, cos de zéro est un. Et le sin de zéro est nul. La première racine est donc un. Et il est tout à fait logique si nous y pensons qu’une solution à l’équation 𝑧 au cube est égale à un soit un.

Ensuite, nous posons 𝑘 égal à un. Cette racine est cos de deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de deux 𝜋 sur trois. Et sous forme exponentielle, c’est 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖. Enfin, nous posons 𝑘 égal à deux. La racine ici est cos quatre 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de quatre 𝜋 sur trois. Notez cependant que l’argument de cette racine est en dehors de l’intervalle principal. On soustrait donc deux 𝜋 de quatre 𝜋 sur trois pour obtenir moins deux 𝜋 sur trois. Donc, notre troisième et dernière racine est cos de moins deux 𝜋 sur trois plus 𝑖 sin de moins deux 𝜋 sur trois. Ou sous forme exponentielle, c’est 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖.

Maintenant que nous avons les racines cubiques de l’unité, nous devons les placer sur un plan complexe. Nous pouvons aborder ce problème de deux manières. Nous pourrions convertir chaque nombre sous forme algébrique. C’est un, moins un demi plus racine trois sur deux 𝑖, et moins un demi moins racine trois sur deux 𝑖. Celles-ci sont représentées sur le plan complexe de la manière suivante. Alternativement, nous aurions pu utiliser le module et l’argument de chaque racine.

Quoi qu’il en soit, notons que les points qui représentent ces nombres complexes sont les sommets d’un triangle équilatéral. Ce triangle est inscrit dans le cercle unité dont le centre est l’origine. En fait, une propriété géométrique intéressante des racines 𝑛-ièmes de l’unité est que, sur un plan complexe, elles sont toutes régulièrement espacées autour du cercle unité dont le centre est l’origine. Elles forment un 𝑛-gone régulier. Avec un sommet au point dont les coordonnées cartésiennes sont un, zéro.

Nous étudierons cette propriété un peu plus loin dans la vidéo.

Déterminez les racines sixièmes de l’unité.

Déterminer les racines sixièmes de l’unité revient à résoudre l’équation 𝑧 à la puissance six est égal à un. Nous utiliserons à nouveau la formule générale des racines 𝑛-ièmes de l’unité. Elles valent cos de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛, lorsque 𝑘 prend les valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Dans cet exemple, nous cherchons à déterminer les racines sixièmes de l’unité. Donc 𝑛 vaut six. Et 𝑘 prend des valeurs entières de zéro à cinq. La première racine est déterminée lorsque 𝑘 est égal à zéro. C’est cos de zéro plus 𝑖 sin de zéro, qui vaut un.

Maintenant, en fait, nous venons de voir que, sur un plan complexe, les points qui représentent les racines 𝑛-ièmes de l’unité forment un 𝑛-gone régulier avec un sommet au point un, zéro. Voilà cette racine. Pour la deuxième racine, on pose 𝑘 égal à un. C’est cos de deux 𝜋𝑘 sur six plus 𝑖 sin de deux 𝜋𝑘 sur six. L’argument ici se simplifie en 𝜋 sur trois. Et nous pourrions également écrire ceci sous forme exponentielle comme 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖. Lorsque 𝑘 est égal à deux, notre racine est cos de quatre 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de quatre 𝜋 sur six. Et cet argument se simplifie en deux 𝜋 sur trois.

Lorsque 𝑘 est égal à trois, nous avons cos de six 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de six 𝜋 sur six, ce qui donne moins un. Et puis, lorsque 𝑘 est égal à quatre, nous avons cos de huit 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de huit 𝑖 sur six. Maintenant ici, l’argument se simplifie en quatre 𝜋 sur trois. Et cela est en dehors de l’intervalle principal. On soustrait donc deux 𝜋 de quatre 𝜋 sur trois pour obtenir moins deux 𝜋 sur trois. Et sous forme exponentielle, notre racine cinquième est 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖. Enfin, lorsque 𝑘 est égal à cinq, nous obtenons cos de 10𝜋 sur six plus 𝑖 sin de 10𝜋 sur six. Cette fois, l’argument se simplifie en cinq 𝜋 sur trois, ce qui est encore une fois en dehors de l’intervalle principal. Cinq 𝜋 sur trois moins deux 𝜋 vaut moins 𝜋 sur trois. Et nous voyons donc que, sous forme exponentielle, notre racine finale est 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖.

Et nous avons les racines sixièmes de l’unité. Sous forme exponentielle, elles sont un, 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, moins un, 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖. Nous pourrions tracer les racines sixièmes de l’unité sur un plan complexe. Et nous verrions que les points représentant ces racines forment les sommets d’un hexagone régulier inscrit dans le cercle unité comme indiqué.

À ce stade, il convient également de noter une définition supplémentaire. Nous disons qu’une racine primitive de l’unité est une racine qui n’est pas une racine 𝑘-ième de l’unité, où 𝑘 est strictement inférieur à 𝑛. Ainsi, dans cet exemple, les racines primitives sont lorsque 𝑘 est égal à un et 𝑘 est égal à cinq puisque les racines lorsque 𝑘 est égal à deux et 𝑘 est égal à quatre sont également des racines cubiques de l’unité. Et quand 𝑘 est égal à zéro et 𝑘 est égal à trois, ce sont les racines carrées de l’unité. En d’autres termes, elles sont les racines carrées de un.

Nous examinerons plus en détail la relation entre les différentes racines de l’unité plus loin dans cette vidéo. Il est utile de savoir que nous utilisons souvent le symbole 𝜔 pour désigner la racine primitive de l’unité avec le plus petit argument strictement positif. Dans le cas des racines sixièmes de l’unité, ce serait 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖. Fait intéressant, les autres racines sont toutes des puissances de 𝜔. Maintenant, il est hors de portée de cette vidéo de vouloir explorer davantage cette propriété. Mais c’est une question intéressante sur laquelle vous voudrez peut-être enquêter. Maintenant, nous avons quelques définitions et le processus que nous devons suivre pour déterminer les racines 𝑛-ièmes de l’unité, examinons les propriétés de la somme des racines 𝑛-ièmes de l’unité.

Déterminez la somme des racines sixièmes de l’unité.

Maintenant, nous avons déjà calculé les racines sixièmes de l’unité. Sous forme trigonométrique, elles sont comme indiqué. Nous allons les changer en forme algébrique. La deuxième racine est un demi plus racine trois sur deux 𝑖. La troisième racine est moins un demi plus racine trois sur deux 𝑖. La racine cinquième est moins un demi racine moins trois sur deux 𝑖. Et la racine finale est un demi racine moins trois sur deux 𝑖. Et donc leur somme est comme indiqué.

Et nous pouvons déterminer la somme de nombres complexes écrits sous forme algébrique en additionnant leurs parties réelles et en ajoutant séparément leurs parties imaginaires. Nous allons commencer par les parties réelles. Un plus moins un fait zéro. Un demi plus moins un demi est nul. Et moins un demi plus un demi est également nul. Et qu’en est-il des parties imaginaires ? Eh bien, la racine trois sur deux moins racine trois sur deux est nulle. Et encore une fois, la racine trois sur deux moins la racine trois sur deux est nulle. Et donc la somme des racines sixièmes de l’unité est nulle.

Maintenant, ce n’est pas vraiment un processus que vous devez suivre à chaque fois. C’est vraiment un moyen d’arriver à une fin puisque nous pouvons en fait généraliser cela. Plus généralement, la somme des racines 𝑛-ièmes de l’unité, lorsque 𝑛 est supérieur à un, est toujours nulle. Et c’est un autre résultat qui doit être appris et appliqué si nécessaire.

Pour notre prochain exemple, nous allons voir comment déterminer l’inverse pour les racines 𝑛-ièmes de l’unité.

Soit 𝑧 une racine 𝑛-ième de l’unité et 𝑘 un entier positif. Lequel des énoncés suivants est la relation correcte entre l’inverse de 𝑧 et 𝑧 ? Est-ce que a) l’inverse de 𝑧 est égal à 𝑧. Est-ce b) l’inverse de 𝑧 est égal à moins 𝑧. Est-ce c) l’inverse de 𝑧 est égal à l’opposé du conjugué de 𝑧. Ou est-ce d) l’inverse de 𝑧 est égal au conjugué de 𝑧.

Pour déterminer laquelle de ces relations est la bonne, nous allons d’abord évaluer 𝑧 à la puissance moins un ou l’inverse de 𝑧. Puisque 𝑧 est une racine 𝑛-ième de l’unité, nous pouvons dire que 𝑧 peut être écrit comme étant 𝑒 de 𝑖𝜃, où 𝜃 vaut deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 et 𝑘 prend les valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Cela signifie que 𝑧 puissance moins un est le même que 𝑒 de 𝑖𝜃 puissance moins un, ce qui est identique à 𝑒 de moins 𝑖𝜃.

Ensuite, nous rappelons la propriété du conjugué d’un nombre complexe écrit sous une forme exponentielle. Nous savons que le conjugué de 𝑟𝑒 de 𝑖𝜃 est 𝑟𝑒 de moins 𝑖𝜃. Et cela signifie que 𝑧 puissance moins un est égal au conjugué de 𝑧 puisque nous avons défini 𝑧 comme étant 𝑒 de 𝑖𝜃. Et nous pouvons donc voir que l’inverse de 𝑧 ou 𝑧 à la puissance moins un est égal au conjugué de 𝑧. La bonne réponse est d) .

Et cette définition peut être quelque peu étendue. On peut dire que l’inverse d’une racine 𝑛-ième de l’unité est son conjugué complexe. Mais c’est aussi une racine 𝑛-ième de l’unité.

Nous allons examiner une autre définition. Et puis, nous avons un exemple de cette définition pour les propriétés géométriques des racines 𝑛-ièmes de l’unité. Nous allons commencer par examiner comment les racines 𝑛-ièmes de l’unité sont liées pour différentes valeurs de 𝑛.

Quelle est la relation entre les racines cubiques de l’unité et les racines sixièmes de l’unité ?

Nous avons brièvement examiné cette idée. Nous avons déjà vu que les racines cubiques sont un, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖. Et nous avons également vu que les racines sixièmes de l’unité sont un, 𝑒 de 𝜋 sur trois 𝑖, 𝑒 de deux 𝜋 sur trois 𝑖, moins un, 𝑒 de moins deux 𝜋 sur trois 𝑖, et 𝑒 de moins 𝜋 sur trois 𝑖. Nous pouvons voir que toutes les racines cubiques de l’unité sont aussi les racines sixièmes de l’unité. Et nous avons examiné ceci lorsque nous discutions du concept des racines primitives de l’unité.

Étendons cette idée à une définition. On peut dire que si 𝑛 est égal au produit d’autres entiers 𝑚 et 𝑝, alors les racines 𝑚-ièmes de l’unité sont aussi les racines 𝑛-ièmes de l’unité. De même, les racines 𝑝-ièmes de l’unité doivent également être les racines 𝑛-ièmes de l’unité. On peut dire que les racines communes de 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un égal à zéro et 𝑧 à la puissance 𝑚 moins un égal à zéro doivent être les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand commun diviseur de 𝑚 et 𝑛.

Prenons un exemple d’application des propriétés des racines 𝑛-ièmes de l’unité.

Deux polygones réguliers sont inscrits dans le même cercle. Le premier a 1731 côtés. Et le second en a 4039. Si les deux polygones ont au moins un sommet en commun, combien de sommets au total coïncideront ?

Rappelez-vous, l’interprétation géométrique des racines 𝑛-ièmes de l’unité sur un plan complexe est comme les sommets d’un 𝑛-gone régulier inscrits dans le cercle unité. Cela signifie alors que nous pouvons dire que, pour résoudre ce problème, nous devons déterminer le nombre de racines communes de 𝑧 à la puissance 1731 moins un égal à zéro et 𝑧 à la puissance 4039 moins un égal à zéro. Rappelez-vous, les racines communes de 𝑧 à la puissance 𝑚 moins un est égal à zéro et 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un est égal à zéro sont les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un est égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand diviseur commun de 𝑚 et 𝑛.

Nous savons donc que les racines communes de nos deux équations sont les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand commun diviseur de 1731 et 4039. Et cela signifie que si nous pouvons déterminer la valeur de 𝑑, le plus grand diviseur commun de 1731 et 4039, cela nous dira combien de racines communes il y a réellement. En tant que produit de leurs facteurs premiers, ils peuvent s’écrire respectivement trois fois 577 et sept fois 577. Donc, leur plus grand commun diviseur, la valeur de 𝑑, est 577. Et cela signifie que tant que les polygones auront un sommet en commun, ils auront en fait un total de 577 sommets qui coïncideront.

Dans cette vidéo, nous avons vu que nous pouvons déterminer les racines 𝑛-ièmes de l’unité et les exprimer sous forme trigonométrique ou exponentielle. Sous forme exponentielle, ils s’écrivent 𝑒 de deux 𝜋𝑘 sur 𝑛 𝑖, où 𝑘 prend les valeurs entières de zéro à 𝑛 moins un. Nous avons vu que si nous représentons ces racines sur un plan complexe, les points qui les représentent sont les sommets d’un 𝑛-gone régulier inscrit dans le cercle unité.

Nous avons également vu que la somme des racines 𝑛-ièmes de l’unité est nulle pour des valeurs de 𝑛 strictement supérieures à un. Et nous avons vu que l’inverse d’une racine 𝑛-ième de l’unité est égal au conjugué complexe de cette racine. Et c’est aussi en soi une racine 𝑛-ième de l’unité. Enfin, nous avons vu que nous pouvons déterminer les racines communes de 𝑧 à la puissance 𝑚 moins un égal à zéro et 𝑧 à la puissance 𝑛 moins un égal à zéro en déterminant les racines de 𝑧 à la puissance 𝑑 moins un égal à zéro, où 𝑑 est le plus grand commun diviseur de 𝑚 et 𝑛. Et nous avons brièvement examiné une application géométrique de cette propriété.

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