Vidéo : Angles au centre dans un cercle

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier un angle au centre dans un cercle, et à déterminer sa mesure en utilisant ses propriétés.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à identifier un angle au centre dans un cercle, et à trouver sa mesure à l’aide de ses propriétés. Pour illustrer cela, pensons à Jack. La piste sur laquelle il court fait 400 mètres de long. Et disons que Jack court sur un quart de la piste. Si nous soulignons un quart, il s’agirait de cet espace. Et si nous imaginons que l’entraîneur de Jack se tient au milieu de la piste, s’il suit Jack sans bouger du centre, nous voyons qu’il a fait un quart de tour. Et un quart de tour, nous savons que c’est un tour de 90 degrés. Si nous voulons déterminer la distance que Jack a parcourue, nous pourrions dire qu’il a couru 100 mètres parce que 100 est un quart de 400.

Maintenant, ajoutons à cette situation qu’il y a une plus grande piste en dehors de la plus petite. La plus grande piste fait 600 mètres tout autour. Et Jill court un quart de cette piste. Si nous soulignons un quart de cette piste, ce serait cet espace. Nous devrions remarquer quelque chose d’intéressant. L’entraîneur au milieu fait toujours un quart de tour en regardant Jill. L’entraîneur fait la même rotation pour Jack et Jill. Mais Jill n’a pas couru 100 mètres. Pour connaître la distance qu’elle a parcourue, il faudrait prendre un quart de 600 mètres, soit 150.

Nous pouvons en tirer quelques conclusions. Nous voyons que la distance que Jack a parcourue sur la distance totale de la piste est dans la proportion de un à quatre. Et la même chose est vraie pour Jill. La distance qu’elle a parcourue sur la distance totale de la piste est dans la proportion de un sur quatre.

Et maintenant nous voulons voir si nous pouvons écrire une proportion pour ce tour que l’entraîneur a fait en les regardant courir. Nous avons dit qu’il a fait un quart de tour, un tour de 90 degrés. Les 90 degrés représentent la distance que Jack et Jill ont couru. Et si c’est le cas, que représenterait la distance totale de la piste ?

En commençant par le début et en faisant un tour complet que nous savons être de 360 degrés. Et donc un tour complet est de 360 degrés. L’entraîneur a tourné de 90 degrés sur 360 degrés, ce qui est dans la même proportion que la distance parcourue par Jack et Jill. Ce que nous voyons ici, c’est qu’il y a une relation proportionnelle entre l’angle au centre et son arc opposé.

Étoffons un peu plus cette relation. Si nous avons un cercle de centre 𝑀 et que les points 𝐴 et 𝐵 appartiennent au cercle, alors 𝐴𝑀 et 𝑀𝐵 sont tous deux des rayons du cercle. La courbe entre les points 𝐴 et 𝐵 est appelée arc 𝐴𝐵. Nous écrivons parfois les deux lettres avec une courbe sur le dessus, que nous lisons arc 𝐴𝐵. L’angle créé par les points 𝐴, 𝑀 et 𝐵 est l’angle 𝐴𝑀𝐵, et c’est un angle au centre de ce cercle. L’angle sous-tendu au centre du cercle par deux points donnés sur le cercle est un angle au centre. Cela signifie que si nous avons deux autres points à l’extérieur du cercle, 𝐶 et 𝐷, qui créent l’arc 𝐶𝐷, alors l’angle 𝐷𝑀𝐶 serait un autre angle au centre de ce cercle.

Avant de poursuivre, nous devons apporter une clarification. Pour ce cercle, nous dirions que l’angle 𝐷𝑀𝐶 est un angle au centre. Et nous avons un petit indicateur de l’angle dont il s’agit. Si vous n’aviez pas cela et que vous aviez juste que l’angle 𝐷𝑀𝐶 est un angle au centre, vous pourriez vous demander lequel de ces deux angles serait l’angle au centre. Et à cela, nous pouvons ajouter que l’angle au centre est celui qui est inférieur ou égal à 180 degrés. Le plus petit des deux angles est l’angle au centre. Le plus grand angle 𝐷𝑀𝐶 est appelé angle rentrant. Cela signifie que lorsque nous identifions les angles au centre, nous choisissons celui qui est inférieur ou égal à 180 degrés.

Avant de voir quelques exemples, nous voulons voir comment trouver la mesure d’un angle au centre, connaissant d’autres informations sur le cercle. Pour trouver la mesure d’un angle au centre, nous devons penser à cette proportion. L’angle au centre sur 360 degrés est égal à la longueur d’arc de cet angle au centre sur la circonférence du cercle. Cela signifie que si vous connaissez la longueur de l’arc et la circonférence du cercle, vous pouvez trouver son angle au centre. Cela signifie également que si vous connaissez l’angle au centre et la circonférence du cercle, vous pouvez trouver la longueur de l’arc. Ou si vous connaissez l’angle au centre et la longueur de l’arc, vous pouvez trouver la circonférence.

Bien sûr, c’est lorsque nous travaillons en degrés. Si nous voulons travailler en radians, alors nous devons utiliser l’angle au centre sur deux 𝜋 égale la longueur de l’arc sur la circonférence. C’est parce qu’un tour complet en radians est de deux 𝜋.

Si nous pensons de nouveau à Jack et à sa piste de 400 mètres, cette fois il a couru 120 mètres. La distance sur laquelle l’entraîneur a tourné en le regardant est l’angle au centre. Nous pouvons appeler cet angle 𝜃. Et si nous voulons savoir en degrés ce qu’est cet angle, nous pouvons dire que l’angle au centre 𝜃 sur 360 degrés est égal à la longueur d’arc de 120 mètres sur la circonférence de 400. C’est la distance sur tout le pourtour.

Nous pouvons résoudre ce problème de différentes manières. Si nous divisons 120 par 400, cela fait trois dixièmes. 𝜃 sur 360 degrés doit être égal à trois dixièmes. On multiplie donc les deux côtés de l’équation par 360, et on obtient 𝜃 égale 108 degrés. L’angle au centre ici, le tour que l’entraîneur a effectué, était de 108 degrés.

Nous sommes maintenant prêts à envisager quelques exemples.

Jacob tourne d’un tiers de tour complet. De combien de degrés s’agit-il ?

Pour répondre à cette question, réfléchissons à l’expression « un tiers de tour complet ». Si nous écrivons un tiers, et que nous savons mathématiquement que le mot « de » signifie multiplier, si Jacob tourne d’un tiers de tour complet, alors la clé est de savoir à combien s’élève un tour complet. Nous résolvons en degrés, ce qui signifie que nous voulons savoir un tour complet fait combien de degrés. Si nous pensons à un tour complet, ce sera 360 degrés. Si un tour complet est de 360 degrés, un tiers de cela sera le tour que Jacob a fait. Un tiers de 360 est 120 degrés. Si nous voulons inclure cela dans l’image, cet angle mesure 120 degrés.

Dans notre exemple suivant, on nous donnera une circonférence et une longueur d’arc, et nous devrons utiliser cela pour déterminer un angle au centre.

Sur la figure, sachant que la circonférence est de 96 et que la longueur d’arc de 𝐴𝐵 est de 12, déterminez 𝜃.

En regardant la figure, nous voyons que 𝜃 est un angle au centre qui est sous-tendu par l’arc 𝐴𝐵. Et nous nous rappelons qu’un angle au centre sur 360 degrés est dans la même proportion que la longueur de l’arc sur la circonférence. Nous savons que 𝜃 est notre angle au centre et qu’un tour complet dans un cercle est de 360 degrés. Si la longueur de l’arc est de 12 et la circonférence de 96, alors nous avons maintenant une proportion et nous pouvons résoudre. 12 divisé par 96 est 0.125.

Pour déterminer 𝜃, nous devons isoler 𝜃. Nous pouvons le faire en multipliant les deux côtés de l’équation par 360 degrés, ce qui nous laisse 𝜃 à gauche. Et 0.125 fois 360 égale 45 degrés.

Nous aurions pu résoudre ce problème d’une autre façon en simplifiant d’abord 12 sur 96. Je sais que 12 est dans 96 huit fois. Et cela signifie que 𝜃 sur 360 degrés égale un sur huit. À partir de là, il faudrait encore multiplier les deux côtés de l’équation par 360 degrés. Et nous dirions 360 sur huit. 360 divisé par huit est 45 degrés. Les deux méthodes montrent que l’angle au centre sous-tendu par l’arc 𝐴𝐵 est de 45 degrés.

Dans notre exemple suivant, nous penserons à un angle de 45 degrés par rapport à un tour complet.

Combien faut-il d’angles de 45 degrés pour effectuer un tour complet ?

Tout d’abord, nous devons réfléchir à ce que serait un tour complet. Un tour complet mesure 360 degrés. Une façon de résoudre ce problème est d’établir un rapport entre la partie et l’ensemble. Nous avons un angle de 45 degrés, et un tour complet est de 360 degrés. Si nous faisons une simplification ici, si nous divisons le numérateur par 45, alors nous obtenons un. Et si nous divisons le dénominateur par 45, nous obtenons huit. Cela signifie qu’un angle de 45 degrés correspond à un huitième de tour complet.

Si nous voulions visualiser cela, nous pourrions utiliser un cercle pour représenter une rotation complète divisée en deux et encore en deux. Maintenant, nous avons des quarts. Nous avons des quarts de tour. Si nous divisons encore en deux, alors nous aurons des huitièmes. Un tour de 45 degrés est un huitième. La question est de savoir combien de ces angles il faudrait pour faire un tour complet. Il faudrait faire cet angle de 45 degrés huit fois pour revenir au point de départ. Et nous pouvons donc dire qu’il faut huit angles de 45 degrés pour faire un tour complet.

Dans notre exemple suivant, on ne nous donne pas une image, mais une longueur d’arc et une circonférence. Et nous devons trouver l’angle au centre.

Un cercle a une circonférence de 16𝜋 unités. Trouvez, en degrés, la mesure de l’angle au centre d’un arc d’une longueur de trois unités 𝜋.

Pour résoudre cette question, nous devons réfléchir à la relation entre la longueur de l’arc, la circonférence et l’angle au centre de cet arc. Si nous prenons le rapport de la longueur de l’arc sur la circonférence, il sera égal à la relation entre l’angle au centre et une rotation complète. La rotation complète sera soit de 360 degrés, soit de deux 𝜋, selon que nous travaillons en degrés ou en radians.

Dans ce cas, nous voulons trouver l’angle en degrés. Nous remplacerons donc la rotation complète par 360 degrés. La longueur de l’arc est de trois unités 𝜋, et la circonférence est de trois unités 16𝜋. Si nous définissons notre angle au centre comme étant 𝜃, nous avons 𝜃 sur 360 égale trois unités 𝜋 sur 16𝜋.

Nous pouvons simplifier un peu. Le 𝜋 au numérateur et le 𝜋 au dénominateur s’annulent. Nous ne pouvons pas réduire davantage trois sur 16. Nous multiplions donc les deux côtés de l’équation par 360 degrés. Et nous aurons 𝜃 égale trois fois 360 degrés divisé par 16. En faisant cela, nous obtenons 67.5 degrés.

Dans notre dernier exemple, nous déterminerons un angle au centre quand on ne nous donne ni la longueur de l’arc ni la circonférence.

Trouvez la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵.

En regardant l’angle 𝐴𝑀𝐵, nous voyons qu’il s’agit d’un angle au centre du cercle. Mais on ne nous donne aucune information sur l’arc 𝐴𝐵. Et cela signifie que nous devrons envisager d’autres propriétés des cercles et des triangles pour nous aider à déterminer cet angle manquant. La première chose que nous pourrions dire est que le segment 𝐴𝑀 et le segment 𝐵𝑀 sont des rayons du cercle 𝑀. Ce qui signifie que nous pourrions dire que le segment 𝐴𝑀 et le segment 𝐵𝑀 sont de même longueur. Et ainsi, nous pouvons dire quelque chose à propos du triangle 𝐴𝑀𝐵. Il a deux côtés de même longueur, ce qui en fait un triangle isocèle.

Et dans un triangle isocèle, les angles opposés aux côtés de même longueur ont la même mesure. On peut donc dire que la mesure de l’angle 𝑀𝐵𝐴 sera égale à la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐵. La mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐵 est de 27 degrés. Et donc nous pouvons dire que la mesure de 𝑀𝐵𝐴 est de 27 degrés. Et comme le triangle 𝐴𝑀𝐵 est un triangle isocèle et que la somme de tous les angles intérieurs d’un triangle est égale à 180 degrés, alors nous pouvons dire que 27 plus 27 plus la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 est égale à 180 degrés. Si nous additionnons 27 plus 27, nous obtenons 54. Et lorsque nous soustrayons 54 degrés des deux côtés de l’équation, nous voyons que la mesure de l’angle 𝐴𝑀𝐵 est de 126 degrés. L’angle au centre 𝐴𝑀𝐵 est de 126 degrés.

Nous sommes maintenant prêts à résumer quelques points clés. Lorsque nous avons un angle au centre sous-tendu par un certain arc, le rapport entre l’angle au centre et la rotation complète sera égal à la longueur de l’arc sur la circonférence du cercle. L’angle au centre est créé par deux points à l’extérieur du cercle et le centre du cercle. La longueur de l’arc est la distance courbe entre ces deux points. Et la circonférence est la distance sur tout le pourtour du cercle.

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