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Vidéo de question : Déterminer le point qui maximise la fonction objectif connaissant le graphique des contraintes Mathématiques

Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui maximisent la quantité 𝑝 = 5𝑥 + 2𝑦. Donnez le résultat sous la forme de coordonnées (𝑥, 𝑦).

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Transcription de vidéo

Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui maximisent la quantité 𝑝 égale cinq 𝑥 plus deux 𝑦. Donnez le résultat sous la forme de coordonnées 𝑥, 𝑦.

On nous donne une zone qui représente un ensemble d’inéquations. L’inégalité associée à la droite horizontale la plus haute est 𝑦 inférieur ou égal à huit. L’inégalité associée à la droite verticale est 𝑥 inférieur ou égal à sept. La zone est également définie par l’axe des 𝑥. Donc 𝑦 doit être supérieur ou égal à zéro. Et enfin, nous avons une droite avec une ordonnée à l’origine de huit et une pente de moins huit sur trois.

Cette inégalité est donc 𝑦 supérieure ou égale à moins huit sur trois 𝑥 plus huit. Tous les maxima et minima correspondent aux sommets de la zone. Nous sommes intéressés plus particulièrement par le maximum de la fonction. Donc, en déterminant les valeurs de 𝑥 et 𝑦 en ces points, nous pouvons déterminer quelle paire donnera, après l’avoir remplacée dans 𝑝 égale à cinq 𝑥 plus deux 𝑦, la plus grande valeur possible de 𝑝.

Les sommets correspondent à sept, zéro ; sept, huit ; zéro, huit et trois, zéro. En zéro, huit, 𝑝 est égale à cinq fois zéro, plus deux fois huit, ce qui nous donne une valeur de 16. En trois, zéro, 𝑝 est égal à cinq fois trois, plus deux fois zéro, ce qui fait 15. En sept, huit, 𝑝 est égal à cinq fois sept, plus deux fois huit, ce qui fait 51. Et en sept, zéro, 𝑝 est égal à cinq fois sept, plus deux fois zéro, ce qui fait 35.

La fonction 𝑝 égale cinq 𝑥 plus deux 𝑦 atteint donc un maximum lorsque 𝑥 égal sept et 𝑦 égal huit. Les valeurs de 𝑥 et 𝑦 qui maximisent la fonction sont sept, huit.

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