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Vidéo de question : Calculer des logarithmes Mathématiques

Quelle est la valeur de log_(√5)(1/(125√5))?

03:54

Transcription de vidéo

Quelle est la valeur du logarithme de base racine carrée de cinq de un sur 125 fois la racine carrée de cinq?

Nous voulons essayer de réarranger cette équation afin de pouvoir la simplifier et la résoudre. Pour ce faire, nous devrons démontrer un peu de créativité. La première chose que nous remarquons est que nous avons affaire à un sur 125 fois la racine carrée de cinq. Si nous voulons réfléchir à la façon de simplifier cela, rappelez-vous que nous avons une règle d’exposant qui dit que un sur 𝑥 est égal à 𝑥 à la puissance moins un, ce qui signifie que nous pourrions réécrire un sur 125 fois la racine carrée de cinq comme 125 fois la racine carrée de cinq à la puissance moins un.

Cela nous rapproche un peu plus parce que nous savons que le log de 𝑥 à la puissance 𝑎 est égal à 𝑎 fois log de 𝑥. Cela signifie que nous aurons moins logarithme de base racine carrée de cinq du 125 fois la racine carrée de cinq. À ce stade, nous devons faire quelque chose avec ce 125. Mais que pouvons-nous faire ? Comment peut-on le réécrire ? Si nous disons que 125 est égal à cinq fois 25 et 25 est égal à cinq fois cinq, nous pouvons dire que 125 est égal à cinq au cube. Mais ce qui serait le plus utile serait d’écrire 125 comme racine carrée de cinq à une certaine puissance.

Si nous pensons à la valeur cinq, nous pourrions dire que cinq est égal à la racine carrée de cinq fois la racine carrée de cinq. On pourrait dire que cinq est égal à la racine carrée de cinq au carré. Et cela signifie que 125 serait égal à la racine carrée de cinq au carré à la puissance trois. Et si nous avons 𝑥 à la puissance 𝑎 à la puissance 𝑏, nous pouvons simplifier cela en ayant 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑏. Ainsi, nous pourrions écrire 125 comme la racine carrée de cinq à la puissance six. Encore une fois, ce n’est pas quelque chose que nous faisons couramment. Mais notre objectif était d’avoir comme base la racine carrée de cinq dont nous prenons le log.

Cela signifie que dans notre équation logarithmique, nous pouvons remplacer 125 par la racine carrée de cinq à la puissance six. Nous avons ensuite à l’intérieur du log la racine carrée de cinq à la puissance six fois la racine carrée de cinq à la puissance un. Et sur la base de nos règles d’exposant, 𝑥 à la puissance 𝑎 fois 𝑥 à la puissance 𝑏 est égal à 𝑥 à la puissance 𝑎 plus 𝑏. Six plus un font sept. Donc, nous avons maintenant l’expression simplifiée du moins log de base racine carrée de cinq de la racine carrée de cinq à la puissance sept.

Et puisque nous avons maintenant un exposant dans notre log, nous pouvons revenir à la règle que nous avons utilisée précédemment et dire moins sept fois le log de base racine carrée de cinq de la racine carrée de cinq. Et c’est la clé que nous recherchions tout le temps parce que le log de base racine carrée de cinq de la racine carrée de cinq demande à quelle puissance il faut lever la racine carré de cinq pour obtenir la racine carrée de cinq. Et c’est là que nous obtenons la règle selon laquelle le log de base 𝑏 de 𝑏 est égal à un parce que la racine carrée de cinq à la puissance un est égale à la racine carrée de cinq. Et cela signifie que, à la place du log de base de la racine carrée de cinq de la racine carrée de cinq, nous en aurons un. Dans notre dernière étape, nous allons simplement multiplier le moins sept par un et obtenir moins sept.

La valeur du log de base racine carrée de cinq de un sur 125 fois la racine carrée de cinq est moins sept.

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