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Vidéo de question : Déterminer les coefficients inconnus dans l’expression d’une fonction étant donnée la valeur des dérivées secondes et troisièmes d’une fonction Mathématiques

Sachant que 𝑦 = 𝑎𝑥³ + 𝑏𝑥², que la dérivée troisième 𝑦 ‴ = −18 et que [𝑑²𝑦 / 𝑑𝑥²] _ (𝑥 = 2) = −14, trouvez les valeurs de 𝑎 et 𝑏.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑦 est égal à 𝑎𝑥 au cube plus 𝑏𝑥 au carré, que la dérivée troisième de 𝑦 est égale à moins 18, et 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 au carré lorsque 𝑥 est égal à deux est égal à moins 14, trouvez 𝑎 et 𝑏.

La première chose que nous devons faire dans cette question est donc de trouver nos dérivées premières, secondes et troisièmes. Nous allons donc commencer par notre dérivée première. Et juste pour nous rappeler comment nous dérivons réellement si nous avons une fonction en 𝑥, alors si elle est sous la forme 𝑎𝑥 à la puissance 𝑏, alors notre dérivée première sera égale à 𝑎𝑏𝑥 à la puissance 𝑏 moins un. Donc, vous multipliez le coefficient par l’exposant et réduisez l’exposant par un.

Bon, alors utilisons cela et trouvons la dérivée première de notre fonction. Donc, le premier terme va être trois 𝑎𝑥 au carré. Et c’est parce que nous avons multiplié notre exposant trois par un coefficient 𝑎. Nous obtenons donc trois 𝑎, puis nous avons réduit l’exposant de un. Nous obtenons donc 𝑥 au carré. Alors, le deuxième terme est juste plus deux 𝑏𝑥. Encore une fois, nous avons dérivé ce terme. D’accord, c’est donc notre dérivée première.

Ce que nous allons faire maintenant est de dériver à nouveau pour trouver notre dérivée seconde. Donc, j’ai montré ici notre dérivée seconde avec 𝑦 prime prime. Et tout ce que nous avons dans la question 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 au carré va être six 𝑎𝑥 plus deux 𝑏. Encore une fois, nous venons de dériver cela de la manière habituelle. Nous avons donc trois 𝑎 multiplié par deux - notre coefficient multiplié par notre exposant - puis 𝑥 à la puissance deux moins un, qui est juste 𝑥 - donc 𝑥 à la puissance un. Très bien, alors nous avons trouvé notre dérivée seconde.

Alors maintenant, bien, nous pouvons réellement passer à autre chose et trouver notre dérivée troisième. Et tout ce que nous faisons pour trouver cela est en fait de dériver à nouveau, ce qui va nous laisser avec six 𝑎 parce que si nous dérivons six 𝑎𝑥, nous nous retrouvons avec six 𝑎. Et si nous dérivons plus deux 𝑏, alors ça va être juste zéro parce que si nous dérivons un nombre qui n’a pas de terme 𝑥, il va être juste zéro. Bon, alors maintenant que nous avons fait cela - nous avons nos dérivées premières, secondes et troisièmes - nous allons voir ce que nous faisons ensuite.

Eh bien, commençons par ce bout d’informations. Nous savons que notre dérivée d’ordre trois sera égale à moins 18. Donc, nous pouvons maintenant mettre en place une équation. Et nous pouvons réellement mettre en place cette nouvelle équation parce que nous pouvons dire que notre dérivée troisième est égale à moins 18. Donc, on peut substituer cela. Nous obtenons donc moins 18 égal à six 𝑎. Bon, donc, nous pouvons dire que 𝑎 va être égal à moins trois. Et nous avons cela parce que nous avons en fait divisé par six. Et aussi, nous venons de l’inverser juste pour obtenir le 𝑎 sur le membre gauche.

Parfait, nous avons maintenant trouvé 𝑎. Alors maintenant, ce que nous devons faire, c’est avancer et essayer de trouver 𝑏. Et pour ce faire, nous allons utiliser cette information ici. Parce que si nous regardons cette information, nous avons 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 au carré - donc notre dérivée seconde - égal moins 14 lorsque 𝑥 est égal à deux. Donc, pour trouver réellement 𝑏, ce que nous pouvons faire, c’est substituer dans 𝑥 est égal à deux et 𝑦 prime prime est égal à moins 14. Et cela va nous donner moins 14 égal à six 𝑎 multiplié par deux plus deux 𝑏.

Mais nous avons maintenant autre chose. On va remplacer dedans parce que nous connaissons la valeur de 𝑎. Nous pouvons donc remplacer 𝑎 est égal à moins trois. Nous obtenons donc que moins 14 égale six multiplié par moins trois multiplié par deux plus deux 𝑏. Nous avons donc moins 14 égale moins 36 plus deux 𝑏. Nous avons donc ajouté 36 à chaque membre. Nous avons alors 22 égal à deux 𝑏. Donc, si nous divisons par deux, nous obtenons 𝑏 égal à 11.

Cela signifie donc que nous pouvons dire qu’étant donné que 𝑦 est égal à 𝑎𝑥 au cube plus 𝑏𝑥 au carré, la dérivée troisième de 𝑦 est égale à moins 18 et 𝑑 deux 𝑦 sur 𝑑𝑥 au carré lorsque 𝑥 est égal à deux est égal à moins 14, 𝑎 est égal à moins trois et 𝑏 est égal à 11.

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