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Convertissez les coordonnées moins deux, cinq en coordonnées polaires. Donnez l’angle en radians et arrondissez à trois chiffres significatifs.
Dans cette question, nous devons convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires, où les coordonnées cartésiennes sont de la forme 𝑥, 𝑦 et les coordonnées polaires sont de la forme 𝑟, 𝜃.
Il existe des formules générales que nous pouvons utiliser pour faire cette conversion. À savoir, 𝑟 égale racine carrée de 𝑥 au carré plus 𝑦 au carré et 𝜃 égale la tangente réciproque de 𝑦 sur 𝑥. Cependant, il faut être prudent lorsque nous calculons la valeur de 𝜃. Pour comprendre pourquoi, considérons le plan en deux dimensions 𝑥𝑦.
L’angle 𝜃 est mesuré dans le sens trigonométrique par rapport à l’axe des 𝑥 positifs. Nous pouvons donc compléter notre figure avec ces angles indiqués en radians. Dans cette question, le point qui nous intéresse a pour coordonnées cartésiennes moins deux, cinq. Par conséquent, il se trouve dans le deuxième quadrant et l’angle 𝜃 ressemble à ceci. La valeur de 𝑟 est la norme ou la longueur du segment qui a pour extrémités l’origine du repère et le point moins deux, cinq.
Pour calculer cette valeur, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé. Les deux côtés les plus courts mesurent deux et cinq unités respectivement. Ainsi, 𝑟 au carré égale deux au carré plus cinq au carré. Nous prenons la racine carrée des deux côtés et puisque 𝑟 doit être positif, nous obtenons 𝑟 égale racine carrée de quatre plus 25. Cela donne donc la racine carrée de 29, qui est égale à 5,3851 etc. A trois chiffres significatifs, cela donne 𝑟 égale 5,39.
Nous pouvons maintenant calculer la mesure de l’angle 𝛼 dans notre triangle rectangle à l’aide de nos connaissances sur les rapports trigonométriques. Dans un triangle, la tangente de tout angle 𝛼 est égale au côté opposé sur le côté adjacent, donc tangente 𝛼 égale cinq sur deux. Nous pouvons ensuite appliquer la fonction réciproque de la tangente des deux côtés de l’équation. Nous obtenons alors 𝛼 égale 1,1902 etc. Puisque nous savons que la somme des angles 𝜃 et 𝛼 est égale à 𝜋 radians, nous avons 𝜃 égale 𝜋 moins 𝛼. Cela nous donne 1,9513 etc. À nouveau, à trois chiffres significatifs, nous obtenons 𝜃 égale 1,95.
La forme polaire des coordonnées cartésiennes moins deux, cinq est 5,39 ; 1,95 à trois chiffres significatifs.
