Vidéo de la leçon: Aires des cônes de révolution Mathématiques

Transcription de la vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à calculer les aires latérales et totales de cônes de révolution à l’aide de leurs formules. Nous allons commencer par rappeler la définition d’un cône de révolution et les formules de ses aires latérale et totale. Nous étudierons ensuite quelques exemples de questions sur les aires de cônes de révolution.

Rappelons d’abord la définition d’un cône de révolution. Les cônes de révolution sont des figures géométriques en trois dimensions ayant une base circulaire et une face courbe se terminant en un seul sommet. Un cône de révolution est un cône dont le sommet se situe au-dessus du centre de gravité de la base. Le centre de gravité est le centre du cercle. La hauteur d’un cône est la distance entre son sommet et sa base. On l’appelle également hauteur perpendiculaire.

La génératrice d’un cône de révolution est la distance du sommet à n’importe quel point de la circonférence de la base. Cela signifie que le rayon, la hauteur et la génératrice forment un triangle rectangle. Cette information est utile car elle nous permet d’utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes impliquant l’aire d’un cône de révolution. Nous allons maintenant rappeler les formules que nous pouvons utiliser pour calculer l’aire latérale et l’aire totale d’un cône de révolution.

L’aire latérale d’un cône de révolution est l’aire de sa face courbe. Elle peut être calculée en utilisant la formule 𝜋𝑟𝑙. Cela implique de multiplier 𝜋 par le rayon et par la génératrice. L’aire totale d’un cône de révolution est l’aire de toutes ses faces, y compris la base. Comme un cône de révolution n’a que deux faces, l’aire totale est égale à l’aire de la face courbe plus l’aire de la base. Comme mentionné précédemment, l’aire de la face courbe est égale à 𝜋𝑟𝑙. Comme la base d’un cône de révolution est un cercle, son aire est égale à 𝜋𝑟 au carré. L’aire totale d’un cône de révolution est donc égale à 𝜋𝑟𝑙 plus 𝜋𝑟 carré. L’aire latérale d’un cône de révolution est simplement égale à 𝜋𝑟𝑙.

Étudions un exemple où le rayon de la base d’un cône de révolution mesure 5 centimètres, sa hauteur 12 centimètres et sa génératrice 13 centimètres. On peut calculer l’aire latérale du cône de révolution en multipliant 𝜋 par cinq et 13. Cinq fois 13 égale 65. Par conséquent, l’aire latérale est de 65𝜋. Multiplier 65 par 𝜋 donne 204,2035 etc. Arrondir cette valeur au dixième près donne 204,2. L’aire latérale du cône de révolution est donc de 204,2 centimètres carrés.

Notez que les unités sont carrées et non cubes même si on travaille sur une figure en trois dimensions. Les unités d’aire sont les centimètres carrés, les mètres carrés, etc., alors que les unités de volume sont les centimètres cubes et les mètres cubes. L’aire totale de ce cône de révolution est égale à 65𝜋 plus 𝜋 fois cinq au carré. On ajoute l’aire de la face courbe ou latérale à l’aire de la base. Cinq au carré égale 25. On a donc 65𝜋 plus 25𝜋. Cela est égal à 90𝜋. On peut à nouveau taper cela sur une calculatrice, ce qui donne 282,7433 etc. Arrondir cette valeur au dixième près donne une aire totale de 282,7 centimètres carrés. Nous allons maintenant étudier quelques questions sur les aires latérale et totale d’un cône de révolution.

Calculez l’aire latérale d’un cône de révolution dont le rayon de la base mesure neuf centimètres et sa hauteur 13 centimètres en fonction de 𝜋.

On commence par tracer un schéma du cône. Il est indiqué que le rayon de la base est égal à neuf centimètres. La hauteur du cône, qui va du sommet au centre, ou centre de gravité, de la base mesure 13 centimètres. Cela crée un triangle rectangle avec la génératrice 𝑙. L’aire latérale d’un cône de révolution est l’aire de sa face courbe. Elle est égale à 𝜋𝑟𝑙. On doit multiplier 𝜋 par le rayon et par la génératrice. On sait que le rayon du cône mesure neuf centimètres. On ne connaît cependant pas la longueur de la génératrice pour le moment. On peut la calculer en utilisant le théorème de Pythagore. Il stipule que 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré, où 𝑐 est la longueur de l’hypoténuse dans un triangle rectangle.

Dans cette question, 𝑙 au carré égale neuf au carré plus 13 au carré. Neuf au carré égale 81. 13 au carré égale 169. 81 plus 169 égale 250. Par conséquent, 𝑙 au carré égale 250. Prendre la racine carrée des deux membres de cette équation donne 𝑙 égale racine carrée de 250. Racine carrée de 250 égale racine carrée de 25 fois racine carrée de 10. Comme racine carrée de 25 égale cinq, cela est égal à cinq racine carrée de 10. La génératrice du cône de révolution mesure cinq racine carrée de 10 centimètres.

On peut maintenant substituer cette valeur pour calculer l’aire latérale. L’aire latérale est égale à 𝜋 fois neuf fois cinq racine carrée de 10. Neuf fois cinq racine carrée de 10 égale 45 racine carrée de 10. Comme il est demandé de donner la réponse en fonction de 𝜋, l’aire est égale à 45 racine carrée de 10 𝜋. L’aire latérale du cône de révolution avec un rayon de base de neuf centimètres et une hauteur de 13 centimètres est égale à 45 racine carrée de 10 𝜋 centimètres carrés. Gardez à l’esprit que les unités pour n’importe quelle aire ou surface sont des centimètres carrés, des mètres carrés, et cetera.

Nous allons maintenant étudier une autre question où nous devons calculer l’aire totale d’un cône de révolution.

Déterminez l’aire totale du cône de révolution arrondie au centième près.

Le schéma indique que la hauteur du cône est de 14,5 centimètres. Et sa génératrice est de 16,5 centimètres. Le rayon est pour le moment inconnu. On peut calculer la longueur du rayon en utilisant le théorème de Pythagore. Il stipule que 𝑎 carré plus 𝑏 carré égale 𝑐 carré, où 𝑐 est le côté le plus long d’un triangle rectangle, connu sous le nom d’hypoténuse. Substituer les valeurs connues donne 𝑟 au carré plus 14,5 au carré égale 16,5 au carré. Soustraire 14,5 au carré aux deux membres donne 𝑟 au carré égale 16,5 au carré moins 14,5 au carré. Prendre la racine carrée des deux membres de cette équation donne 𝑟 égale 16,5 au carré moins 14,5 au carré. Cela est égal à racine carrée de 62.

Par souci de précision, on laisse la réponse sous cette forme pour l’instant. On doit calculer l’aire totale du cône. Un cône a deux faces, une face courbe et une base. Par conséquent, l’aire totale est égale à l’aire de la face courbe plus l’aire de la base. L’aire de la face courbe ou latérale est égale à 𝜋𝑟𝑙. On multiplie 𝜋 par le rayon et par la génératrice. Comme la base est un cercle, on calcule l’aire de la base en multipliant 𝜋 par le rayon au carré. Substituer les valeurs du rayon et de la génératrice donne 𝜋 fois racine carrée de 62 fois 16,5 plus 𝜋 fois racine carrée de 62 au carré.

Racine carrée de 62 au carré est simplement égal à 62. Comme la réponse doit être donnée au centième près et non en fonction de 𝜋, on peut taper cette expression sur une calculatrice. Cela donne une réponse de 602,93801 etc. Le huit aux millièmes est le chiffre décisif. Lorsque ce chiffre est supérieur ou égal à cinq, on arrondit au centième supérieur. L’aire totale du cône de révolution est de 602,94 centimètres carrés au centième près. Toute aire est mesurée en unités carrées.

Nous allons maintenant étudier une question concernant l’aire d’un cône de révolution dans un contexte réel.

Un abat-jour conique mesure 31 centimètres de haut et a une circonférence de base de 145,2 centimètres. Déterminez l’aire de la face courbe de l’extérieur de l’abat-jour. Donnez votre réponse au centimètre carré près.

L’abat-jour a la forme d’un cône de révolution et a une hauteur de 31 centimètres, comme indiqué. La circonférence de la base est égale à 145,2 centimètres. On doit calculer l’aire de la face courbe de l’abat-jour. L’aire de la face courbe ou latérale d’un cône de révolution est égale à 𝜋𝑟𝑙. On multiplie 𝜋 par le rayon et par la génératrice 𝑙. On ne connaît pour le moment aucune de ces valeurs. On ne connaît ni la longueur de la génératrice ni la longueur du rayon. La circonférence d’un cercle peut être calculée à l’aide de la formule deux 𝜋𝑟. Nous pouvons l’utiliser pour calculer le rayon dans ce cas.

145,2 égale deux 𝜋𝑟. Diviser les deux membres de cette équation par deux 𝜋 donne 𝑟 égale 145,2 divisé par deux 𝜋. Cela signifie que 𝑟 égale 23,1092 etc. Par souci de précision, on n’arrondit pas cette réponse pour le moment. Comme on sait que le rayon du cône de révolution est d’environ 23,10 centimètres et que la hauteur est de 31 centimètres, on peut maintenant calculer la génératrice. On utilise pour cela le théorème de Pythagore qui stipule que 𝑎 carré plus 𝑏 carré égale 𝑐 carré, où 𝑐 est le côté le plus long d’un triangle rectangle appelé hypoténuse.

Substituer les valeurs connues donne 𝑙 au carré égale 31 au carré plus 23,1092 etc. au carré. Une calculatrice donne 𝑙 au carré égale 1495,0396 etc. Prendre la racine carrée des deux membres donne 𝑙 égale 38,6657 etc. On peut maintenant substituer les valeurs du rayon et de la génératrice dans la formule de l’aire latérale. On multiplie 𝜋 par le rayon et par la génératrice. Une calculatrice permet de calculer que l’aire de la face courbe est de 2807,132. On doit arrondir cette valeur au centimètre carré près, ce qui signifie que l’on doit arrondir à l’unité la plus proche. L’aire de la face courbe de l’abat-jour est donc égale à 2807 centimètres carrés.

Nous allons maintenant étudier un dernier exemple impliquant l’aire d’un cône de révolution.

Un cône de révolution a une génératrice de 35 centimètres et une aire de 450𝜋 centimètres carrés. Quel est le rayon de sa base?

On rappelle que l’aire d’un cône de révolution est égale à 𝜋𝑟𝑙 plus 𝜋𝑟 carré. 𝜋𝑟𝑙 est l’aire de la face courbe ou latérale du cône. 𝜋𝑟 au carré est l’aire de sa base, car la base d’un cône de révolution est un cercle. 𝑟 est le rayon de la base et 𝑙 est la génératrice. On sait que l’aire totale est de 450𝜋. La génératrice est de 35 centimètres. Par conséquent, l’aire latérale est égale à 35𝜋𝑟. L’aire de la base est 𝜋𝑟 carré. Comme 𝜋 est commun aux trois termes, on peut diviser les deux membres de l’équation par 𝜋. Cela donne 450 égale 35𝑟 plus 𝑟 au carré.

Soustraire 450 aux deux membres donne une équation du second degré égale à zéro. 𝑟 au carré plus 35𝑟 moins 450 égale zéro. Nous pouvons la résoudre en la factorisant. On doit alors trouver deux nombres dont le produit est égal à moins 450 et la somme égale à 35. 45 fois moins 10 égale moins 450. Et 45 plus moins 10 égale 35. Cela signifie que les deux termes entre parenthèses sont 𝑟 plus 45 et 𝑟 moins 10.

Pour résoudre cette équation, un des termes entre parenthèses doit être égal à zéro. Soit 𝑟 plus 45 égale zéro, soit 𝑟 moins 10 égale zéro. Résoudre ces deux équations donne 𝑟 égale moins 45 ou 𝑟 égale 10. Le rayon est une longueur et ne peut donc pas être négatif. On peut donc conclure que le cône de révolution avec une génératrice de 35 centimètres et une aire de 450𝜋 centimètres carrés a un rayon de base de 10 centimètres.

Nous allons maintenant résumer les points clés de cette vidéo. Un cône de révolution est une figure en trois dimensions à deux faces. Il a une face latérale ou courbe. On peut calculer l’aire de cette face en utilisant la formule 𝜋𝑟𝑙. On multiplie 𝜋 par le rayon et par la génératrice. Un cône de révolution a également une base circulaire. Elle a une aire de 𝜋𝑟 carré. On multiplie 𝜋 par le rayon au carré. L’aire totale de tout cône de révolution est donc égale à 𝜋𝑟𝑙 plus 𝜋𝑟 carré. L’aire est mesurée en unités carrées telles que les centimètres carrés ou les mètres carrés.