Vidéo : Comparaison du taux de croissance des fonctions

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser les limites pour comparer a grandeur relative des fonctions et leurs taux de variation.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à comparer le taux de croissance des fonctions. Par exemple, prenons les fonctions 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥. Regardons leurs représentations graphiques pour 𝑥 strictement supérieure à zéro. Nous pouvons voir que, initialement, lorsque 𝑥 augmente à partir de zéro, 𝑔 de 𝑥 est strictement supérieure à 𝑓 de 𝑥. Mais en un point donné, 𝑓 de 𝑥 commence à augmenter plus rapidement que 𝑔 de 𝑥 et dépasse donc 𝑔 de 𝑥 en 𝑥 égale un. Intuitivement alors, il semble que 𝑓 de 𝑥 augmente plus vite que 𝑔 de 𝑥. Mais nous voudrions transformer cette intuition en une affirmation mathématiquement précise.

Comment y parvenir ? Eh bien, l’idée est que, pour de très grandes valeurs de 𝑥, 𝑓 de 𝑥 est beaucoup plus grande que 𝑔 de 𝑥. Donc 𝑓 de 𝑁 est beaucoup plus grande que 𝑔 de 𝑁 pour un certain très grand nombre 𝑁. Nous pouvons dire que 𝑓 de 𝑁 est grande comparée à 𝑔 de 𝑁, quand le quotient 𝑓 de 𝑁 sur 𝑔 de 𝑁 est grand. Mais nous avons un problème ici. Il faut choisir une grande valeur de 𝑁. Et comment saurons-nous si nous avons choisi une valeur de 𝑁 qui est assez grande pour nos besoins ? Nous contournons ce problème en utilisant des limites. Au lieu de choisir une seule valeur de 𝑥 que nous avons appelée 𝑁, nous considérons la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞.

Maintenant, comment décider si cette limite est grande ? Eh bien, nous disons qu’elle est grande si sa valeur est ∞. Bien sûr on est tous d’accord avec le fait que si c’est le cas, alors la limite est grande et donc que 𝑓 de 𝑥 augmente plus vite que 𝑔 de 𝑥. Nous prenons ceci comme notre définition mathématiquement précise qui saisit l’intuition que 𝑓 de 𝑥 augmente plus vite que 𝑔 de 𝑥. Nous disons que 𝑓 de 𝑥 augmente plus vite que 𝑔 de 𝑥 si la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞. Parfois, le terme « domine » est également utilisé. 𝑓 de 𝑥 domine 𝑔 de 𝑥 si la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞.

Alors, qu’est-ce que cela signifie pour nos fonctions 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 ? Eh bien, la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est la limite de 𝑥 au carré sur 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. C’est juste en utilisant les définitions de 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥. Et nous pouvons simplifier la fraction 𝑥 au carré sur 𝑥 qui est juste 𝑥. Donc, nous avons la limite de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞, qui est ∞. Que pouvons-nous conclure ? Eh bien, même si 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 tendent toutes les deux vers ∞ lorsque 𝑥 tend vers ∞, 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré augmente plus rapidement que ou domine 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥. C’est ce que nous dit notre définition. Résumons cette définition sous la forme de question.

Si la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞, alors que remarquez-vous du taux de croissance de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ ?

Cette limite nous indique que le quotient 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 augmente sans limite lorsque 𝑥 tend vers ∞. Et pour que le quotient 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 augmente sans limite, la fonction 𝑓 de 𝑥 doit augmenter plus rapidement que 𝑔 de 𝑥. Notre conclusion est donc que le taux de croissance de 𝑓 de 𝑥 est strictement supérieur à celui de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Une autre façon de dire cela est que la fonction 𝑓 de 𝑥 domine la fonction 𝑔 de 𝑥.

Voyons maintenant une question où la valeur de la limite n’est plus ∞, mais zéro.

Si la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est zéro, alors que remarquez-vous du taux de croissance de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ ?

Comme la limite de ce quotient est zéro lorsque 𝑥 tend vers ∞, on peut dire que la grandeur de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est très petite pour les grandes valeurs de 𝑥. En fait, pour montrer que le numérateur 𝑓 de 𝑥 n’est pas juste zéro, nous pouvons imaginer que le quotient 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 devient de plus en plus petit, de plus en plus proche de zéro en grandeur lorsque 𝑥 augmente. Maintenant, on serait tenté de penser que, pour que cela se produise, la fonction 𝑓 de 𝑥 elle-même doit se rapprocher de plus en plus de zéro. Mais ce n’est pas le cas.

Par exemple, on pourrait prendre 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥. C’est une fonction qui augmente sans limite lorsque 𝑥 augmente. Si nous prenons alors 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au carré, alors le quotient 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est 𝑥 sur 𝑥 au carré ou un sur 𝑥. Et ça devient effectivement de plus en plus petit lorsque 𝑥 augmente. Le point n’est pas que 𝑓 de 𝑥 elle-même est petite ou devient plus petite, c’est qu’elle est petite comparée à 𝑔 de 𝑥. Et avec la limite lorsque 𝑥 tend vers ∞, nous pensons à cela en fonction de taux de croissance. Le taux de croissance de 𝑓 de 𝑥 est plus petit que celui de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Même si la fonction 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 augmente lorsque 𝑥 augmente, elle n’augmente pas aussi vite que 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥 au carré. Et donc la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est zéro. C’est donc notre réponse.

On peut aussi inverser ça. Une autre façon de dire que le taux de croissance de 𝑓 de 𝑥 est strictement inférieur à celui de 𝑔 de 𝑥 est de dire que le taux de croissance de 𝑔 de 𝑥 est strictement supérieur à celui de 𝑓 de 𝑥. Nous pourrions confirmer cela en trouvant la limite de 𝑔 de 𝑥 sur 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Il s’agit de la limite de un sur 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞, ce qui, en travaillant de manière un peu informelle, est un sur la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Cette limite au dénominateur, nous savons qu’elle égale zéro à partir de la question. Et ce que nous ne pouvons pas normalement diviser par zéro, dans ce cas particulier, peut être justifié. Et donc nous n’avons pas complètement tort de dire que un sur zéro doit être plus ou moins ∞.

Encore une fois, ce n’est pas à 100 pour cent rigoureux, mais cela indique que le taux de croissance de 𝑔 de 𝑥 est strictement supérieur à celui de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Et ce n’est qu’une autre façon de dire que le taux de croissance de 𝑓 de 𝑥 est strictement inférieur à celui de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞, ce qui était notre réponse.

Nous avons vu que si la limite de 𝑓 de 𝑥 par rapport à 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞, alors 𝑓 de 𝑥 augmente plus rapidement que 𝑔 de 𝑥 ou 𝑓 de 𝑥 domine 𝑔 de 𝑥. Cependant, si la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est zéro, alors 𝑓 de 𝑥 augmente plus lentement que 𝑔 de 𝑥. Et c’est 𝑔 de 𝑥 qui domine 𝑓 de 𝑥. Cependant, ∞ et zéro sont les seules valeurs possibles de cette limite. Que se passe-t-il si la valeur de cette limite est un autre nombre réel 𝑎 ? Eh bien, il n’y a rien de particulièrement formel que nous disons ici, mais 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 augmentent à peu près au même rythme. Vous pourriez penser que la fonction 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 augmente beaucoup plus vite que 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥. Mais en fait, il n’y a pas grande différence là-dedans.

Ce facteur de deux est négligeable si on le compare à la différence infinie, ou plutôt au quotient, entre les taux de croissance de la fonction du second degré 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré et de la fonction linéaire 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥. Il est peut-être préférable de penser à cela en termes de domination. Il ne suffit pas que 𝑓 de 𝑥 soit simplement strictement supérieure à 𝑔 de 𝑥. Il faut qu’elle domine complètement 𝑔 de 𝑥. C’est une exigence beaucoup plus importante. Lorsqu’on parle de domination, un multiple constant ne suffit pas pour faire pencher la balance. Nous pouvons définir cette affirmation plus précisément. Si 𝑓 de 𝑥 domine 𝑔 de 𝑥, alors, pour tous nombres réels positifs 𝑎 et 𝑏, 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 domine 𝑏 fois 𝑔 de 𝑥. Cela n’est pas trop difficile à prouver.

Pour prouver que 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 domine 𝑏 fois 𝑔 de 𝑥, il suffit de prouver que la limite de leur quotient lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞. Une de nos règles sur les limites nous permet de sortir le facteur constant 𝑎 sur 𝑏 de l’intérieur de la limite. Et nous connaissons la valeur de la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Comme 𝑓 de 𝑥 domine 𝑔 de 𝑥, celle-là doit être ∞. Le facteur constant 𝑎 sur 𝑏 ne peut rien faire pour rendre cet ∞ plus petit. Et donc notre limite est aussi ∞. Et donc, 𝑎 fois 𝑓 de 𝑥 domine 𝑏 fois 𝑔 de 𝑥. Cela signifie que non seulement 𝑓 de 𝑥 égale 𝑥 au carré pour dominer 𝑔 de 𝑥 égale 𝑥, mais aussi 𝑓 de 𝑥 égale 0,001𝑥 au carré domine 𝑔 de 𝑥 égale 99𝑥 et ainsi de suite.

Maintenant, jusqu’ici dans la vidéo, nous avons surtout vu des exemples impliquant des fonctions linéaires et du second degré. Si vous savez comment trouver la limite à ∞ d’une fonction rationnelle — une fonction qui est le quotient de deux fonctions polynômes — alors vous serez en mesure de montrer quand une fonction polynôme domine une autre. Cependant, nous aimerions aussi considérer les fonctions non polynomiales. Et pour cela, il est utile de connaître la règle de L’Hôpital. Voyons un exemple.

Évaluez la limite de 𝑥 au carré sur 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ en utilisant la règle de L’Hôpital.

Nous pourrions essayer d’évaluer cette limite en utilisant le fait que la limite d’un quotient de fonctions est un quotient de leurs limites. Ainsi, nous obtenons la limite de 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers ∞ sur la limite de 𝑒 à la puissance 𝑥 de 𝑥 et 𝑥 tend vers ∞. Le problème est que la limite de 𝑥 au carré lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞ tout comme la limite de 𝑒 à la 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Et donc nous obtenons la forme indéterminée ∞ sur ∞. C’est pourquoi nous devons utiliser la règle de L’Hôpital. La règle de L’Hôpital dit que si le quotient des limites, la limite de 𝑓 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 sur la limite de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 donne une forme indéterminée. C’est zéro sure zéro ou plus ou moins ∞ sur plus ou moins ∞. Alors la limite du quotient des fonctions 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à la limite du quotient de leurs dérivées 𝑓 prime de 𝑥 sur 𝑔 prime de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers 𝑎.

Bien entendu, cela n’est valable que si 𝑓 et 𝑔 sont des fonctions dérivables. Mais dans notre cas, elles sont 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 au carré, qui est dérivable, et 𝑔 de 𝑥, qui est 𝑒 à la puissance 𝑥. Avec ce choix de 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, nous avons déjà vu que le quotient de leurs limites donne la forme indéterminée ∞ sur ∞. La règle de L’Hôpital s’applique donc. Et donc, nous pouvons dire que la limite du quotient des fonctions que nous recherchons égale la limite du quotient de leurs dérivées. 𝑓 de 𝑥 est 𝑥 au carré, et donc 𝑓 prime de 𝑥 est deux 𝑥, sa dérivée. 𝑔 de 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥, et sa dérivée est aussi 𝑒 à la puissance 𝑥. La fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 a la propriété que sa dérivée est elle-même.

Maintenant, on peut essayer d’utiliser le fait que la limite d’un quotient de fonctions est un quotient de leurs limites. Quelle est la limite de deux 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Eh bien, lorsque 𝑥 tend vers ∞, deux 𝑥 fait de même. Et il en va de même pour le dénominateur. La limite de 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞, comme nous l’avons vu, est aussi ∞. Nous avons une autre forme indéterminée ici, ∞ sur ∞. Vous penserez peut-être que nous n’avons pas vraiment progressé en appliquant la règle de L’Hôpital. Mais en fait, nous l’avons fait. Et nous pouvons le voir en appliquant la règle de L’Hôpital une fois de plus. Cette fois-ci, nous l’appliquons à la limite de deux 𝑥 sur 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Et donc, nous prenons 𝑓 de 𝑥 égale deux 𝑥 et 𝑔 de 𝑥 égale 𝑒 à la puissance 𝑥.

La dérivée de deux 𝑥 est deux et la dérivée de 𝑒 à la puissance 𝑥 est 𝑒 à la puissance 𝑥. Et donc en appliquant la règle de L’Hôpital une deuxième fois, nous obtenons la limite de deux sur 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que la limite d’un quotient est un quotient des limites. La limite de deux lorsque 𝑥 tend vers ∞ est deux, et la limite de 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞. Deux sur ∞ n’est pas une forme indéterminée, bien qu’il contienne ∞, qui n’est pas lui-même un nombre réel. Dans le contexte des limites, nous pouvons voir que tout nombre réel sur ∞ est zéro. Et c’est donc la valeur de notre limite initiale, la limite de 𝑥 au carré sur 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ aussi.

Si ça vous inquiète de dire que deux divisé par ∞ est zéro, alors il y a une autre façon de le dire. Au lieu de trouver un quotient des limites, nous pouvons penser à la fonction deux sur 𝑒 à la puissance 𝑥 ou deux 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Vous pourriez reconnaître ceci comme une décroissance exponentielle, 𝑒 à la puissance moins 𝑥. Et donc, deux fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥 tend vers zéro lorsque 𝑥 tend vers ∞. Dans les deux cas, la réponse est zéro.

Une façon d’interpréter le fait que la limite de 𝑥 au carré sur 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est zéro est de dire que la fonction 𝑥 au carré augmente plus lentement que la fonction 𝑒 à la puissance 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Ou, en d’autres termes, la fonction 𝑒 à la puissance 𝑥 domine la fonction 𝑥 au carré. En fait, en appliquant la règle de L’Hôpital à plusieurs reprises, nous pouvons montrer que la fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 domine toute fonction polynôme.

Avec un polynôme de degré 𝑛 au numérateur, en appliquant la règle de L’Hôpital une fois, on dérive ce numérateur et on obtient un polynôme de degré 𝑛 moins un. En appliquant la règle de L’Hôpital à plusieurs reprises, on peut réduire le degré du polynôme au numérateur jusqu’à ce qu’il ne soit plus qu’une constante, un polynôme de degré zéro. Et nous savons que la limite d’une constante sur 𝑒 à la puissance 𝑥 ou, de façon équivalente, une constante fois 𝑒 à la puissance moins 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est zéro. Ainsi, 𝑒 la puissance 𝑥 domine tous les polynômes.

Ce fait est l’un des éléments essentiels de la complexité calculatoire en informatique. Si le temps nécessaire à l’exécution d’un algorithme est une fonction polynôme de la longueur de son entrée, alors cet algorithme est considéré comme assez rapide. Si, par contre, le temps nécessaire est une fonction exponentielle de la longueur des entrées à l’algorithme, alors cet algorithme est considéré lent. Le concept de la complexité calculatoire dépasse la portée de cette vidéo, mais je vous recommande de le voir vous-même, car il s’agit d’un concept très important et il est directement lié au sujet de la comparaison de la croissance des fonctions.

Terminons maintenant en résumant ce que nous avons appris. Nous disons que la fonction 𝑓 de 𝑥 domine la fonction 𝑔 de 𝑥. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est ∞. Dans ce cas, nous pouvons également dire que le taux de croissance de 𝑓 de 𝑥 est strictement supérieur à celui de 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞. Si la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 lorsque 𝑥 tend vers ∞ est zéro, alors c’est 𝑔 de 𝑥 qui domine 𝑓 de 𝑥. Dans la possibilité restante où la limite de 𝑓 de 𝑥 sur 𝑔 de 𝑥 est un nombre réel non nul 𝑎, alors aucune des deux fonctions ne domine l’autre. La fonction exponentielle 𝑒 à la puissance 𝑥 domine toutes les fonctions polynomiales. Ce fait et les concepts de comparaison de la croissance des fonctions, qui est l’un des éléments essentiels de la complexité calculatoire, sont des sujets très importants en informatique.

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