Transcription de la vidéo
Le sujet de cette vidéo est la quantité de mouvement de photons. Les photons, particules de lumière, ont en effet une quantité de mouvement, mais si peu qu’il est facile de ne pas la remarquer. Si nous commençons par considérer un seul photon, nous pouvons nous rappeler que cet objet n’a pas de masse. De ce point de vue, on pourrait penser qu’il n’a pas non plus de quantité de mouvement. Mais expérimentalement, si nous envoyons ce photon vers une feuille de matériau, alors, que le photon soit absorbé par le matériau ou réfléchi vers sa direction d’origine. Dans les deux cas, la surface qui rencontrera le photon reculera un peu à cause de cette interaction. Et, fait intéressant, la quantité de recul dépend de si le photon est absorbé ou réfléchi.
Dans le cas de l’absorption de photons, le recul est moindre. Mais dans le cas de la réflexion, il est relativement plus important. Nous pouvons expliquer cette observation en termes de transfert de quantité de mouvement. Si nous supposons que nos photons entrants ont une certaine quantité de mouvement, alors lorsque ce photon est absorbé, il transfère cette quantité de mouvement à la surface absorbante. Mais lorsque le photon est réfléchi vers la direction d’où il provient, le photon subit deux fois plus de changement de quantité de mouvement que lorsqu’il était simplement absorbé. Et cette plus grande différence dans la quantité de mouvement du photon explique le recul relativement plus important que subit la surface. Cela est conforme à la loi de conservation de la quantité de mouvement.
Donc, les photons ont en effet un une quantité de mouvement. Et mathématiquement, nous pouvons écrire cette quantité de mouvement de cette façon. Nous pouvons dire que la quantité de mouvement d’un seul photon, nous l’appellerons 𝑃 indice p, est égale à la constante de Planck ℎ divisée par la longueur d’onde de ce photon 𝜆.
Maintenant, nous avons mentionné plus tôt que la quantité de mouvement d’un photon individuel est très petite. Pour voir à quel point elle est petite, disons que ce photon incident a une longueur d’onde de 450 nanomètres. Il s’agit d’une longueur d’onde correspondant à la partie indigo, violette et bleue du spectre visible. Donc, lorsque nous calculons la quantité de mouvement de ce photon entrant, nous connaissons 𝜆. C’est 450 nanomètres ou, de manière équivalente, 450 fois 10 puissance moins neuf mètres. Cela nous laisse avec ℎ, la constante de Planck, que nous pouvons considérer comme ayant une valeur égale à 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule seconde. Donc, cette valeur va à notre numérateur.
Maintenant, avant de calculer cette fraction, considérons les unités de notre équation. Dans au numérateur, nous avons des joules fois des secondes. Et nous pouvons rappeler qu’un joule est égal à un newton fois un mètre. Et puis nous pouvons rappeler plus loin qu’un newton est égal à un kilogramme mètre par seconde au carré, ce qui signifie que nous pouvons remplacer cette unité en joule par des kilogramme mètre carré par seconde au carré.
Avec cette substitution d’unités terminée, nous voyons maintenant qu’une annulation a lieu. Premièrement, une puissance de secondes s’annule au numérateur de notre équation. Et puis nous pouvons également annuler un des mètres au numérateur et au dénominateur. Nous nous retrouvons alors avec des kilogramme mètre par seconde. Ce sont les unités standard que l’on utilise pour la quantité de mouvement.
Maintenant que cela est fait, continuons et calculons cette fraction. À trois chiffres significatifs, nous trouvons un résultat de 1,47 fois 10 puissance moins 27 kilogrammes mètres par seconde. C’est parce que cette valeur est infinitésimale que la quantité de mouvement des photons n’a été découverte que récemment. Pour voir si elle existe, un équipement de mesure extrêmement précis est nécessaire.
Maintenant, en soi, un transfert de quantité de mouvement de cet ordre de grandeur sur une surface n’aura pas beaucoup d’effet sur le mouvement de cette surface. Mais que se passe-t-il si au lieu de quelques photons ou des dizaines ou des centaines, voire des millions de photons, nous avions beaucoup plus de photons incidents atteignant cette surface? L’effet cumulé des nombreux photons qui sont absorbés ou réfléchis par une surface peut avoir un impact significatif sur le mouvement de cette surface. C’est l’idée d’un appareil appelé voile solaire.
Une voile solaire est une surface attachée à un engin spatial léger et sans pilote. La voile est conçue pour absorber ou réfléchir les photons incidents, peut-être provenant d’une étoile à proximité. Et ce faisant, la quantité de mouvement de ces photons sont transférés à la voile. Et cela fournit une force qui pousse la voile et donc le vaisseau spatial auquel elle est attachée.
Il y a trois facteurs importants qui affectent la propulsion générée par une voile solaire. La première est de savoir si la voile absorbe les photons incidents ou si elle les réfléchit. Comparé à l’absorption, la réflexion conduit à un plus grand transfert de quantité de mouvement et donc à une propulsion plus importante. Un autre facteur est le nombre de photons incidents sur la voile. Plus il y a de photons, plus la propulsion est importante. Et enfin, si nous revenons à notre équation pour la quantité de mouvement des photons, nous pouvons voir le troisième facteur important. C’est la longueur d’onde, 𝜆, des photons incidents à la surface. Les photons ayant une longueur d’onde plus courte et donc une valeur plus petite de 𝜆 auront une quantité de mouvement relativement plus grande.
Maintenant, il existe une autre façon mathématiquement équivalente d’écrire cette équation. Cela est lié au fait que la lumière agit non seulement comme une particule, comme un photon tel que nous l’avons décrit, mais aussi comme une onde. Et pour cette raison, elle est décrite par cette équation de vitesse d’onde, qui dit que la vitesse d’une onde 𝑣 est égale à la fréquence de l’onde fois sa longueur d’onde.
Maintenant, dans le cas de la lumière, nous savons quelle est la vitesse de notre onde. C’est la vitesse de la lumière dans le vide 𝑐. On peut donc dire que la vitesse de la lumière est égale à la fréquence de cette lumière multipliée par sa longueur d’onde. Et puis, si nous divisons les deux côtés de cette équation par 𝑐 fois 𝜆, nous constatons que, sur le côté gauche, la vitesse de la lumière s’annule. Et à droite, la longueur d’onde s’annule. Il nous reste une équation qui nous dit que un sur la longueur d’onde est égal à 𝑓 divisé par 𝑐. C’est l’équation de la vitesse des ondes pour les photons.
Alors, revenons à notre équation pour la quantité de mouvement des photons, nous savons que ℎ divisé par 𝜆 peut également être écrit comme ℎ fois un sur 𝜆. Et un sur 𝜆, basé sur l’équation que nous venons de développer, peut être remplacé par 𝑓 sur 𝑐. En faisant cette substitution, nous arrivons à une deuxième façon équivalente d’écrire la quantité de mouvement des photons. Elle est égale à la constante de Planck fois la fréquence du photon divisée par la vitesse de la lumière.
Sachant toutes ces informations sur quantité de mouvement des photons, nous allons nous entraîner à utiliser ces concepts à travers un exemple.
Un laser produit 4,00 fois 10 puissance 27 photons, chacun avec une fréquence de 4,25 fois 10 puissance 14 hertz. Quelle quantité de mouvement est transmise au laser lorsque ces photons sont produits? Utilise une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule seconde pour la constante de Planck. Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.
D’accord, donc dans cet exemple, nous avons un laser. Disons que c’est notre laser. Et ce laser produit des photons, qui ont une fréquence - que nous appellerons 𝑓 - de 4,25 fois 10 puissance 14 hertz. Maintenant, chacun de nos 4,00 fois 10 puissance 27 photons possède une certaine quantité de quantité de mouvement.
Nous pouvons rappeler que cette quantité - nous l’appellerons 𝑃 indice p, la quantité de mouvement d’un seul photon - est égale à la constante de Planck ℎ fois la fréquence du photon divisée par la vitesse de la lumière dans le vide. Alors, voici l’idée. Chacun de ces photons lorsqu’il se déplace a une certaine quantité de mouvement. Et selon la loi de conservation de la quantité de mouvement, cette même quantité de quantité de mouvement doit être transmise dans le sens opposé au laser. Autrement dit, comme un photon est reçoit cette quantité de mouvement vers la droite, il donne cette même quantité de mouvement dans le sens opposé vers le laser.
Si nous additionnons la quantité de mouvement de tous les photons, nous obtiendrons une quantité de mouvement beaucoup plus importante. Et encore une fois, étant donné la conservation de la quantité de mouvement, cela sera égal à la quantité de mouvement totale transmise au laser.
Notez que notre question nous demande de trouver la quantité de mouvement transmise. Ce qui signifie que si nous résolvons cette équation en fonction de la quantité de mouvement, la quantité de mouvement totale possédée par tous les photons, nous aurons alors répondu à notre question. Parce que c’est égal à la quantité de mouvement transmise au laser. Alors, comment allons-nous résoudre cette équation en fonction de la quantité de mouvement totale que possèdent les photons émis?
Nous pouvons commencer par calculer la quantité de mouvement de chaque photon. Nous appellerons cela 𝑃 indice p. Et puisque tous les photons que notre laser émet ont la même fréquence. Nous pouvons dire que si 𝑁 majuscule est le nombre total de photons émis, alors N majuscule multiplié par 𝑃 indice p sera égal à la quantité de mouvement totale de tous les photons émis. Nous appellerons cela simplement 𝑃.
Cette quantité de mouvement, comme nous l’avons dit, est égale à la quantité de mouvement totale des photons. Mais elle également égale à la quantité de mouvement transmise au laser. Donc, en résolvant l’équation en fonction de 𝑃, nous trouverons la réponse que nous cherchons. Nous pouvons commencer à le faire en remplaçant 𝑃 indice p, la quantité de mouvement d’un photon individuel, par ℎ fois 𝑓 divisé par 𝑐, selon cette équation. Donc, la quantité de mouvement totale 𝑃 que nous voulons calculer est égale à la constante de Planck. On nous dit de considérer cette valeur comme étant égale à 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule secondes. Multiplié par la fréquence de chaque photon 𝑓. Cette valeur nous est donnée comme valant 4,25 fois 10 puissance 14 hertz. Divisé par la vitesse de la lumière dans le vide 𝑐. Nous pouvons approximer cette valeur à 3,00 fois 10 puissance huit mètres par seconde. Le tout multiplié par le nombre total de photons émis par notre laser. Cela fait 4,00 fois 10 puissance 27.
Lorsque nous substituons toutes ces valeurs, avant de calculer la quantité de mouvement total 𝑃, considérons les unités de cette équation. Tout d’abord, au numérateur, nous voyons que nous avons des unités en joules, qui peuvent être écrites de manière équivalente comme des newtons fois des mètres. Et un newton, nous nous souvenons, peut également être écrit comme un kilogramme-mètre par seconde au carré, ce qui signifie que nous pouvons remplacer un joule par un kilogramme-mètre carré par seconde au carré.
Avec cette substitution effectuée, considérons maintenant les unités en hertz. Ceux-ci indiquent le nombre de cycles par seconde et peuvent être remplacés par des unités en secondes inverses. Avec ces remplacements, nous voyons que certaines de nos unités peuvent s’annuler. En effet, pour nos unités de la constante de Planck, nous voyons que des secondes peut s’annuler. Et puis avec cela, des mètres au numérateur et au dénominateur peut s’annuler. Et enfin, des secondes inverses peut également s’annuler. Cela nous laisse avec des unités globales pour cette équation en kilogrammes mètres par seconde. Nous nous attendions à ces unités pour la quantité de mouvement. Il semble donc que nous sommes sur la bonne voie.
Lorsque nous calculons cette fraction à gauche et gardons notre résultat avec trois chiffres significatifs, nous trouvons un résultat de 3,76 kilogrammes mètres par seconde. Il s’agit de la quantité de mouvement totale de tous les photons émis. Et par conséquent, c’est la quantité de mouvement transmise par les photons au laser.
Voyons maintenant un deuxième exemple de quantité de mouvement de photons.
Une voile solaire est une méthode proposée pour la propulsion d’un engin spatial qui utilise la quantité de mouvement des photons. Lorsque les photons percutent la voile, ils sont absorbés et leur quantité de mouvement est transférée à la voile. Si une lumière laser d’une longueur d’onde de 200 nanomètres est utilisée pour propulser la voile, combien de photons doivent percuter la voile pour qu’elle gagne un kilogramme mètre par seconde de quantité de mouvement? Utilise une valeur de 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule secondes pour la constante de Planck. Donnez votre réponse à trois chiffres significatifs.
Très bien, donc dans cet exemple, nous avons cette structure appelée voile solaire. Une voile solaire est une surface, on pourrait la dessiner comme ça, qui est conçue pour absorber ou réfléchir les photons incidents. L’idée est que chaque photon incident a une certaine quantité de mouvement. Et lorsque ces photons sont, par exemple, absorbés par la voile, cette quantité de mouvement est transférée à la voile. Le résultat est que ça va exercer une force globale sur la voile et le vaisseau spatial auquel elle est attachée. Cette force peut déplacer un engin spatial dans l’espace. Et donc, en effet, ces photons incidents sont une source de propulsion.
Maintenant, dans notre exemple, ces photons entrants qui entrent en contact avec la voile sont émis par un laser. La longueur d’onde de ces photons, on peut l’appeler 𝜆, est égale à 200 nanomètres. Nous voulons savoir combien de photons à cette longueur d’onde, et nous appellerons ce N majuscule, seraient nécessaires pour fournir un gain de quantité de mouvement à la voile solaire d’un kilogramme mètre par seconde. Nous pouvons symboliser ce gain de quantité de mouvement avec Δ𝑃.
Pour déterminer combien de photons sont nécessaires pour créer cette variation de quantité de mouvement dans notre voile, nous devons savoir quelle quantité de mouvement possède chacun de nos photons possédant une longueur d’onde de 200 nanomètres. Sous forme d’équation, la quantité de de mouvement pour un seul photon est donnée comme étant la constante de Planck divisée par la longueur d’onde de ce photon. Dans l’énoncé de notre problème, on nous dit de considérer la constante de Planck comme valant 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule seconde.
Donc, connaissant ℎ et connaissant 𝜆, nous pourrons calculer la quantité de mouvement d’un seul photon émis par notre laser. Mais rappelons que ce que nous voulons faire, c’est déterminer combien de ces photons seront nécessaires pour conférer à la voile un gain de quantité de mouvement d’un kilogramme mètre par seconde. Pour voir comment calculer cela, faisons un peu d’espace à l’écran.
C’est beaucoup mieux. Maintenant, comme nous l’avons dit, nous voulons résoudre notre équation en fonction de N majuscule, le nombre de photons émis par notre laser afin de transmettre cette variation de quantité de mouvement à notre voile. Puisque Δ𝑃 est la variation totale de la quantité de mouvement de notre voile, nous pouvons dire qu’elle est égale à la quantité de mouvement de l’un des photons émis par le laser multiplié par le nombre total de ces photons. Nous pouvons écrire ceci parce que chacun de nos photons individuels ont tous la même longueur d’onde, 200 nanomètres. Par conséquent, chaque photon fournit la même quantité de mouvement à la voile.
Alors, soit dit en passant, notons que nos photons sont absorbés par la voile. Au lieu d’être réfléchis. Si les photons étaient réfléchis, cela signifierait qu’ils donneraient deux fois plus de quantité de mouvement à notre voile. Et c’est parce que plutôt que de simplement faire opposition à leur impulsion, comme lorsqu’ils sont absorbés, la réflexion indiquerait que cette impulsion est redirigée dans la direction opposée. Cela doublerait la variation de quantité de mouvement transmise à la voile.
Et donc, si notre voile réfléchissait les photons, ici dans notre équation de la quantité de mouvement d’un seul photon, nous multiplierions ce nombre par deux. C’est parce que ℎ sur 𝜆 de la quantité de mouvement serait transmis à la voile lorsqu’un photon est arrêté. Et puis cette même quantité serait transmise lorsque le photon serait renvoyé d’où il vient. C’est pourquoi nous avons un facteur deux chaque fois que notre voile est constituée d’un matériau réfléchissant.
Mais comme notre voile dans cet exemple n’est pas réfléchissante, mais qu’elle absorbe des photons, nous n’utiliserons pas ce facteur deux dans notre équation. Dans ce cas, la quantité de mouvement transmise à cette voile par un photon individuel est vraiment égale à ℎ sur 𝜆. En remplaçant dans cette équation l’expression utilisée pour 𝑃 indice p, nous pouvons résoudre l’équation en fonction de 𝑁 majuscule.
Pour ce faire, nous pouvons multiplier les deux côtés de l’équation par 𝜆 sur ℎ. Cela annule 𝜆 et ℎ du côté droit. Et nous constatons que la longueur d’onde de nos photons divisée par la constante de Planck le tout multipliée par le gain total en quantité de mouvement de notre voile est égale au nombre de photons incidents.
Notre prochaine étape consiste à substituer les valeurs figurant dans la partie gauche de cette équation. Mais avant de remplacer la longueur d’onde par 200 nanomètres, changeons ici les unités de nanomètres à mètres. Nous pouvons le faire en rappelant qu’un nanomètre est égal à 10 puissance neuf mètres. Ce qui signifie que nous pouvons également écrire 𝜆 comme valant 200 fois 10 puissance moins neuf mètres. Nous allons donc remplacer 𝜆 par cette valeur dans notre équation. Et nous allons remplacer ℎ par 6,63 fois 10 puissance moins 34 joule secondes. Et Δ𝑃, nous le savons déjà, est égal à un kilogramme-mètre par seconde.
En regardant cette équation, nous pouvons noter qu’un joule est égal à un newton fois un mètre. Et vu qu’un newton est égal à un kilogramme mètre par seconde au carré. Ce qui signifie que nous pouvons remplacer l’unité en joule par des kilogramme mètre carré par seconde au carré. Nous faisons ça pour que les unités du côté gauche de cette équation s’annulent complètement. Autrement dit, les kilogrammes s’annulent avec les kilogrammes. Les mètres au carré au numérateur s’annulent avec les mètres au carré au dénominateur. Et après avoir annulé des secondes au dénominateur, il ne reste plus que des secondes inverses au numérateur et au dénominateur. Donc, cela s’annule également. Il nous reste un résultat sans unité, ce qui est bien car nous recherchons un nombre pur.
À trois chiffres significatifs, 𝑁 est égal à 3,02 fois 10 puissance 26. C’est le nombre de photons qui devraient percuter la voile pour lui donner un kilogramme mètre par seconde de gain de quantité de mouvement.
Résumons maintenant ce que nous avons appris sur la quantité de mouvement des photons. Pour commencer, dans cette leçon, nous avons vu que les particules individuelles de lumière, les photons, n’ont pas de masse, mais elles possèdent une quantité de mouvement. Nous avons vu que la quantité de mouvement d’un photon individuel est égale à la constante de Planck divisée par la longueur d’onde du photon, ou de manière équivalente à la constante de Planck multipliée par la fréquence du photon divisée par la vitesse de la lumière 𝑐. Cela implique que la quantité de mouvement des photons est directement proportionnelle à la fréquence des photons, et inversement proportionnelle à la longueur d’onde. Et enfin, nous avons vu que pour 𝑁 photons identiques, chacun avec une quantité de mouvement 𝑃 indice p, la quantité de mouvement totale des photons 𝑃 est égale à 𝑁 fois 𝑃 indice p. Ceci est un résumé de la quantité de mouvement photons.
