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Vidéo de question : Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction définie par morceaux à partir de sa courbe représentative Mathématiques

Déterminez l’ensemble de définition de la fonction suivante.

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Transcription de vidéo

Déterminez l’ensemble de définition de la fonction suivante.

Dans cette question, on nous donne la courbe représentative d’une fonction. Et nous devons l’utiliser pour déterminer son ensemble de définition. Et nous pouvons commencer par rappeler que l’ensemble de définition d’une fonction est l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée pour cette fonction. Nous devons donc utiliser la courbe représentative de la fonction pour déterminer l’ensemble de toutes les valeurs d’entrée de cette fonction. Pour ce faire, nous rappelons que tout point sur notre courbe aura une abscisse 𝑥 et une ordonnée 𝑦. L’abscisse 𝑥 nous indique la valeur d’entrée de 𝑥 pour notre fonction, et l’ordonnée correspondante nous indique la valeur de sortie de la fonction pour cette abscisse .

Par exemple, nous pouvons voir que notre courbe passe par le point avec les coordonnées trois, moins quatre. Ceci nous indique que la valeur de 𝑓 en trois est égal à moins quatre. Et en particulier, ceci nous indique que trois est dans l’ensemble de définition de notre fonction ; c’est une valeur d’entrée possible pour notre fonction. Nous voulons trouver l’ensemble de définition de cette fonction, nous devons alors déterminer toutes les valeurs d’abscisses 𝑥 possibles qui se trouvent sur notre courbe.

Nous pouvons le faire par étapes. Commençons par examiner les valeurs de 𝑥 supérieures à trois. Nous pouvons voir que lorsque nous passons à des valeurs 𝑥 supérieures à trois, il y a des abscisses 𝑥 jusqu’à ce que 𝑥 soit égal à six. Cependant, lorsque nous arrivons à insérer des valeurs 𝑥 égales à sept, nous pouvons voir que notre courbe a une flèche. Ce type de notation signifie que notre courbe continue à l’infini dans cette direction. Et en particulier, comme il s’agit d’une flèche horizontale en 𝑦 égale moins quatre, alors notre courbe se poursuivra simplement horizontalement en moins quatre.

Nous pouvons donc voir qu’il existe des valeurs d’entrée de 𝑥 pour toutes les valeurs de 𝑥 supérieures à trois. Nous pouvons alors faire la même chose pour des valeurs d’entrée de 𝑥 inférieures à trois. Nous pouvons continuer à prendre des valeurs d’entrée de 𝑥 de plus en plus proches de zéro. Cependant, lorsque nous arrivons à zéro, nous remarquons quelque chose d’intéressant. Au point zéro, moins quatre, notre courbe a un point vide. Ceci signifie que notre fonction n’est pas définie en ce point. Au lieu de cela, nous devons noter que nous avons un point plein au point avec les coordonnées zéro, quatre. Comme il s’agit d’un point plein, ceci signifie que notre fonction est définie en ce point. La valeur de 𝑓 en zéro est égal à quatre, donc zéro appartient à l’ensemble de définition de notre fonction.

Nous pouvons alors continuer de la même manière pour des valeurs 𝑥 inférieures à zéro. Et quand nous arrivons à 𝑥 est égal à moins sept, nous avons la même chose qui se passe avant. La courbe a une flèche, donc elle continue à l’infini dans cette direction. Nous pouvons donc prendre toute valeur d’entrée 𝑥 inférieure à zéro.

Ceci suffit pour déterminer l’ensemble de définition de notre fonction. À gauche, nous pouvons voir que nous pouvons prendre toute valeur d’entrée de 𝑥 inférieure à zéro. Et à droite, nous pouvons voir que nous pouvons prendre toute valeur d’entrée 𝑥 supérieure à zéro. Par conséquent, l’ensemble de définition de notre fonction est l’ensemble de toutes les valeurs inférieures à zéro ou supérieures à zéro. Mais c’est une valeur quelconque possible. Nous pouvons donc dire que l’ensemble de définition de la fonction illustrée par la courbe représentative est l’ensemble des nombres réels ℝ.

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