Le portail a été désactivé. Veuillez contacter l'administrateur de votre portail.

Vidéo de question : Étude du mouvement de deux corps suspendus verticalement et reliés par une corde passant par une poulie Mathématiques

Deux corps, A et B, de même masse 𝑚 grammes ont été reliés l'un à l'autre au moyen d'une chaîne légère et inextensible qui est passée au-dessus d'une poulie lisse. Une masse de 44 g a été ajoutée au corps A et le système a été libéré du repos. Le corps A atteint le sol après s’avoir déplacé 64 cm, tandis que le corps B a continué son mouvement vers le haut jusqu'à s'arrêter momentanément 80 cm au-dessus du point de départ. Calculez la valeur de 𝑚, sachant que l'accélération gravitationnelle est 𝑔 = 9,8 m / s².

06:31

Transcription de vidéo

Deux corps A et B de même masse 𝑚 grammes sont reliés par une corde inextensible de masse négligeable qui passe par une poulie lisse. Une masse de 44 grammes est ajoutée au corps A quand le système était initialement au repos. Le corps A atteint le sol après avoir parcouru 64 centimètres, tandis que le corps B continue son mouvement vers le haut jusqu’à ce qu’il s’arrête momentanément à 80 centimètres au-dessus de son point de départ. Trouvez la valeur de 𝑚 sachant que l’accélération due à la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde au carré.

On commence par tracer un schéma pour mieux comprendre la situation. On a deux corps A et B reliés par une corde inextensible légère qui passe par une poulie lisse. Comme la poulie est lisse, la corde transmet intégralement la tension. Les corps ont la même masse 𝑚 grammes et donc on va avoir une force qui agit vers le bas sur chaque corps égale à la masse 𝑚 multipliée par l’accélération de la pesanteur 𝑔. On nous dit l’accélération de la pesanteur 𝑔 est égale à 9,8 mètres par seconde au carré, ce qui équivaut à 980 centimètres par seconde au carré. Une masse de 44 grammes est ajoutée au corps A. Cela signifie qu’on va avoir une force vers le bas de 𝑚 plus 44 multipliée par 𝑔. Et en développant les parenthèses, cela équivaut à 𝑚𝑔 plus 44𝑔.

On nous dit ensuite que le système est maintenu initialement au repos. À partir de ce moment, le corps A accélère vers le bas et le corps B accélère vers le haut. Comme la corde est inextensible, cette accélération 𝑎 est la même pour tout le système. On peut utiliser la deuxième loi de Newton, 𝐹 est égal à 𝑚𝑎, pour le corps A ainsi que pour le corps B. La somme des forces agissant sur un corps est égale à sa masse multipliée par l’accélération. Le corps A accélère vers le bas, qu’on va considérer comme le sens positif. Et la somme des forces sur A est égale à 𝑚𝑔 plus 44𝑔 moins 𝑇. Ceci est égal à la masse du corps 𝑚 plus 44 multiplié par 𝑎. On appelle cette équation un.

En faisant pareil pour le corps B, en prenant le sens positif verticalement vers le haut, on a 𝑇 moins 𝑚𝑔 est égal à 𝑚𝑎. Eh bien on a une paire d’équations simultanées. En additionnant les deux équations, on peut éliminer la force de tension 𝑇 et trouver une expression pour l’accélération 𝑎 en fonction de 𝑚 et 𝑔. Le côté gauche de notre équation devient 𝑚𝑔 plus 44𝑔 moins 𝑚𝑔. Et après l’élimination des parenthèses, le côté droit devient 𝑚𝑎 plus 44𝑎 plus 𝑚𝑎. Cela donne 44𝑔 est égal à deux 𝑚𝑎 plus 44𝑎.

Puisque 𝑔 est 980, le côté gauche est égal à 43,120. Et en factorisant 𝑎 au côté droit nous donne 𝑎 multiplié par deux 𝑚 plus 44. On peut ensuite diviser les deux côtés par ceci tel que 𝑎 est égal à 43,120 sur deux 𝑚 plus 44. On peut se demander comment cela peut nous aider à résoudre cette question. Cependant, on va ensuite examiner ce qui se passe lorsque les masses commencent à bouger. Le corps A tombe d’une hauteur de 64 centimètres avant de toucher le sol. On peut utiliser les équations du mouvement ou les équations MRUA pour trouver la vitesse de ce corps lorsqu’il atteint le sol. En prenant le sens positif comme le sens vertical vers le bas, le déplacement est de 64 centimètres et la vitesse initiale est de zéro centimètre par seconde.

On veut calculer la vitesse finale 𝑣. Et l’accélération est de 43 120 sur deux 𝑚 plus 44 centimètres par seconde au carré. On va utiliser l’équation 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠. Puisque 𝑢 est égal à zéro, l’on a 𝑣 au carré est égal à deux multiplié par 43 120 sur deux 𝑚 plus 44 multiplié par 64. Cela se simplifie à 2 759 680 sur 𝑚 plus 22. On peut prendre sa racine carrée. Cependant, l’on va d’abord examiner ce qui arrive au corps B lorsqu’il commence à bouger.

On sait que le corps B accélère vers le haut avec la même accélération. Cela signifie qu’après avoir parcouru une distance de 64 centimètres, il va avoir la même vitesse que le corps A. À ce moment-là, le corps A atteint le sol. Cela signifie que la corde devient relâchée et le corps B continue à se déplacer sous l’action de la pesanteur. On nous dit que le corps B s’arrête momentanément à 80 centimètres au-dessus de son point de départ. Cela signifie qu’il se déplace de 16 centimètres de plus vers le haut verticalement après que le corps A atteint le sol.

Si on prend le sens vertical vers le haut comme positif, le déplacement est de plus 16 centimètres. La vitesse finale 𝑣 est de zéro centimètre par seconde lorsque le corps est au repos. L’accélération de la pesanteur est moins 980 centimètres par seconde car la pesanteur agit dans le sens opposé au mouvement. La vitesse initiale à cette partie du mouvement est la racine carrée de 2 759 680 sur 𝑚 plus 22.

On va alors libérer de l’espace et utiliser l’équation 𝑣 au carré est égal à 𝑢 au carré plus deux 𝑎𝑠 encore une fois. On fait 𝑢 au carré et ensuite on substitue les valeurs numériques pour obtenir l’équation suivante. Deux multiplié par moins 980 multiplié par 16 est moins 31 360. Puis on ajoute 31 360 aux deux côtés de sorte que cela est égal à 2 759 680 sur 𝑚 plus 22. On réorganise les termes dans l’équation pour avoir 𝑚 plus 22 sur le côté gauche. Et le côté droit se simplifie à 88. On peut alors soustraire 22 des deux côtés de cette équation pour obtenir enfin que 𝑚 est égal à 66. La masse des corps A et B est de 66 grammes.

Nagwa utilise des cookies pour vous garantir la meilleure expérience sur notre site. En savoir plus sur notre Politique de Confidentialité.