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Vidéo de question : Diviser des nombres complexes sous forme polaire Mathématiques

Sachant que 𝑍₁ = 1 et 𝑍₂ = (cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃)², écrivez 𝑍₁/𝑍₂ sous forme trigonométrique.

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Transcription de vidéo

Sachant que 𝑍 un est égal à un et 𝑍 deux est égal à cosinus de trois 𝜃 plus 𝑖 sinus de trois 𝜃 le tout au carré, écrivez 𝑍 un divisé par 𝑍 deux sous forme trigonométrique.

Il existe plusieurs formules dont nous devrons tenir compte ici. La première est la formule du produit. Et elle énonce que pour deux nombres complexes 𝑍 un avec le module 𝑟 un et un argument 𝜃 un, et 𝑍 deux avec le module 𝑟 deux et un argument 𝜃 deux, leur produit 𝑍 un 𝑍 deux peut être trouvé en multipliant les modules et en additionnant les arguments.

Nous pouvons étendre cela en mettant au carré un nombre complexe et dire que pour trouver le carré d’un nombre complexe 𝑍 sous forme polaire, nous mettons le module au carré et doublons l’argument. Ceci nous permettra de trouver la valeur de cosinus trois 𝜃 plus 𝑖 sinus de trois 𝜃 le tout au carré. Nous doublons les arguments et nous obtenons cosinus de six 𝜃 plus 𝑖 sinus de six 𝜃.

La formule du quotient dit que pour les deux mêmes nombres complexes 𝑍 un et 𝑍 deux, leur quotient 𝑍 un divisé par 𝑍 deux peut être trouvé en divisant les modules et en soustrayant les arguments. 𝑍 un n’est pas encore sous forme trigonométrique ; c’est sous forme algébrique. La forme algébrique pour un nombre complexe est 𝑍 est égal à 𝑎 plus 𝑏𝑖.

Si nous comparons la forme algébrique générale à notre nombre complexe 𝑍 un, nous pouvons voir que la valeur de 𝑎 est un et la valeur de 𝑏 est zéro. Nous devons donc maintenant trouver un moyen de représenter les composantes réelles et complexes de notre nombre en fonction de 𝑟 et 𝜃, en écrivant essentiellement sous forme trigonométrique.

Le module 𝑟 est donné par la racine carrée de 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré. Ceci vient du théorème de Pythagore. Pour trouver 𝜃, nous utilisons la formule tangente 𝜃 égale 𝑏 sur 𝑎. Remplaçons donc ce que nous savons sur notre nombre complexe 𝑍 un dans ces formules.

Le module est la racine carrée de un au carré plus zéro au carré, qui est un. Tangente 𝜃 est égal à 𝑏 sur 𝑎, qui est zéro sur un. Zéro divisé par un est zéro. Donc, pour résoudre cette équation pour 𝜃, nous pouvons trouver l’arctangente de zéro, qui est simplement zéro. Et maintenant que nous avons les valeurs de 𝑟 et 𝜃 remplaçons-les dans la formule de la forme générale polaire ou trigonométrique du nombre complexe 𝑍 un.

En faisant cela, nous pouvons voir que 𝑍 un est égal à un multiplié par cosinus de zéro plus 𝑖 sinus de zéro. Retenons cela et libérons un peu d’espace. Nous cherchons à trouver la valeur de 𝑍 un divisé par 𝑍 deux. Revenons à la formule du quotient.

Nous divisons les modules et nous obtenons un sur un. Nous soustrayons les arguments et nous obtenons zéro moins six 𝜃. Rappelez-vous que les fonctions sinus et cosinus sont périodiques avec une période de deux 𝜋. Nous pouvons donc ajouter deux 𝜋 à l’argument, et le nombre complexe lui-même restera inchangé. Et puisque le module du nombre complexe est un, nous n’avons pas besoin d’écrire cela.

Et nous avons terminé : le quotient 𝑍 un divisé par 𝑍 deux est égal à cosinus de deux 𝜋 moins six 𝜃 plus 𝑖 sinus de deux 𝜋 moins six 𝜃.

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