Transcription de la vidéo
Calculez l’écart-type de la série statistique suivante. Arrondissez votre réponse au centième près.
Pour les données, nous avons des scores de un, deux, trois, quatre et cinq et des fréquences de trois, neuf, 12, cinq et quatre, respectivement. Pour trouver l’écart-type d’un tableau de fréquences, deux méthodes sont à notre disposition. Une formule que nous pourrions connaître est la racine carrée de la somme de chaque 𝑥 𝑖 moins la moyenne 𝜇 le tout au carré fois chaque fréquence 𝑓 𝑖, puis divisée par la somme des fréquences. De manière équivalente, cela est égal à la racine carrée de la somme de chaque fréquence multipliée par sa valeur au carré divisé par la somme des fréquences moins 𝜇 au carré. Bien que nous ne le prouverons pas ici, ces deux formulations sont exactement les mêmes. Seulement, la deuxième version est souvent un peu plus facile à mettre en œuvre, alors utilisons-la.
Soit dit en passant, il est aussi plus simple d’écrire cette expression sans les 𝑖 tant que nous nous souvenons que nous voulons simplement multiplier ensemble les entrées dans chaque colonne. Ainsi, les premières valeurs que nous devrons trouver sont les carrés des 𝑥, soit 𝑥 au carré, que nous pouvons obtenir en mettant au carré les valeurs dans les colonnes correspondantes ci-dessus. La première entrée est donc un au carré, soit un. La deuxième entrée est deux au carré, ce qui vaut quatre, et nous pouvons continuer le processus pour obtenir neuf, 16 et 25.
Maintenant, nous allons aussi devoir trouver le terme 𝜇 au carré. Nous pouvons rappeler que 𝜇 est la moyenne, qui pour un tableau de fréquences est la somme des fréquences multipliées par les valeurs divisée par la somme des fréquences. Ainsi, en particulier, nous devrons trouver le produit de chaque fréquence avec la valeur correspondante.
Pour la première valeur, nous multiplions un par trois, ce qui donne trois. Nous pouvons le faire pour toutes les autres entrées, ce qui nous donne deux fois neuf est égal à 18, trois fois 12 est égal à 36 et quatre fois cinq ou cinq fois quatre est égal à 20. Maintenant, nous pouvons réellement déterminer la moyenne si nous sommons ces valeurs 𝑓 fois 𝑥 et si divisons ensuite par la somme des valeurs 𝑓. La somme des valeurs de 𝑓 fois 𝑥 vaut 97 et la somme des fréquences vaut 33, ce qui signifie que la moyenne vaut 97 sur 33. Nous n’avons pas besoin de simplifier cela, mais cela donne environ 2,93.
Maintenant, nous avons la moyenne et les valeurs de 𝑥 au carré, mais nous avons également besoin de 𝑓 fois 𝑥 au carré. Nous pouvons trouver ces valeurs en multipliant les valeurs de 𝑥 au carré que nous avons précédemment trouvées par les valeurs de 𝑓. Ainsi, la première entrée est trois fois un, ce qui fait trois. Ensuite, nous avons neuf fois quatre, soit 36, et nous continuons ce processus pour avoir 108, 80 et 100.
Maintenant, nous pouvons enfin calculer l’écart-type. Nous prenons la somme des valeurs de 𝑓 fois 𝑥 au carré, soit 327. Nous avons déjà trouvé que la somme des 𝑓 vaut 33. Par conséquent, l’écart-type sera la racine carrée de 327 sur 33 moins 97 sur 33 au carré. Mettre tout cela dans une calculatrice nous donne 1,1265 etc. que nous pouvons arrondir au centième près comme demandé.
Ainsi, notre réponse finale est que l’écart-type de la série statistique est de 1,13, au centième près.
