Vidéo : Déterminer la décomposition en facteurs premiers d’un nombre

À l’aide d’une série d’exemples utilisant des arbres de diviseurs et la méthode de division par des nombres premiers, nous vous guidons avec le processus de recherche de la factorisation en nombres premiers d’un nombre composé, puis nous vous laissons quelques conseils à la fin.

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Transcription de vidéo

Regardons comment trouver la factorisation première d’un nombre. Avant de commencer, nous devons savoir deux mots ici. Et ce serait « diviseur » et « nombre premier ».

Les diviseurs sont des nombres que nous multiplions ensemble pour produire un autre nombre. Voici un exemple. Deux fois trois c’est six. Deux et trois sont des diviseurs de six. Et le nombre premier est un nombre entier strictement supérieur à un qui a exactement deux diviseurs : un et lui-même. Par exemple, le nombre sept, les deux seuls nombres qui se multiplient pour être égaux à sept sont un et sept. Donc sept est un nombre premier. Ensuite, nous disons que la factorisation en nombres premiers consiste à écrire un nombre composé sous la forme du produit de seuls nombres premiers. Pour rappel, un nombre composé est un nombre entier supérieur à celui qui a plus de deux diviseurs. Par exemple, 10, vous pouvez trouver 10 en multipliant un par 10 ou deux par cinq. 10 a plus que deux diviseurs.

Bon, revenons à la factorisation en facteurs premiers. Nous allons prendre ces nombres composés et les écrire comme un produit de nombres premiers. Rappelez-vous que le produit signifie les nombres qui sont multipliés ensemble. Nous sommes va examiner deux méthodes pour trouver factorisation : la première est à l’aide d’un arbre de diviseur et le second est la division par des nombres premiers.

Donner la décomposition en facteurs premiers de 60.

Commençons par utiliser la méthode de l’arborescence des diviseurs pour factoriser 60. Ce que vous voulez faire, c’est penser à deux nombres que vous savez qui se multiplient pour donner 60. Je vais choisir six et 10. Six fois 10 est égal à 60. Maintenant, Regardez les nombres six et 10 et nous voyons ce qui se multiplie pour égaler chacun de ceux-ci. Pour six, je sais que deux fois trois est égal à six. Et pour 10, deux fois cinq est égal à 10.

La méthode de l’arborescence des diviseurs est terminée lorsque chacune de vos branches est un nombre premier. Donc, ici, les seules choses qui se multiplient pour être égales à deux sont deux et un. Deux est un nombre premier. Trois est un nombre premier pour la même raison : une fois trois est trois. C’est les seuls diviseurs. Lorsque nous constatons que toutes nos branches ont des nombres premiers, nous pouvons nous arrêter et noter la factorisation des nombres premiers. Deux fois deux fois trois fois cinq est la factorisation principale de 60. 60 est égal à deux fois deux fois trois fois cinq. Il est souvent utile de l’écrire avec des exposants. Donc, nous disons deux fois trois fois plus carré trois fois cinq pour plus de clarté. Et nous appelons cette méthode la méthode de l’arbre à diviseurs. Résolvons à nouveau le même problème en utilisant la méthode de division par nombres premiers.

Pour cette méthode, je dois penser à un nombre premier que 60 est divisible par. Je vais commencer par deux. Je sais que 60 est divisible par deux. Et je sais que deux est un nombre premier. 60 divisé par deux est 30. Maintenant, il me faut un nombre premier ici que 30 soit divisible par. J’ai choisi trois. 30 divisé par trois est 10. Nous avons besoin d’un nombre premier par lequel 10 est divisible. Je vais en choisir deux. 10 divisé par deux est cinq. Cette méthode est terminée lorsque le nombre dans la case est un nombre premier. Puisque cinq est un nombre premier, nous en avons terminé avec cette étape. Nous prenons tous les nombres premiers que nous avons utilisés pour diviser et le nombre inférieur. Et c’est la factorisation première.

Vous diriez que 60 est égal à deux fois trois fois deux fois cinq. Ou plus simplement, deux au carré fois trois fois cinq. Les deux méthodes nous amènent à la factorisation première de soixante. Bien que les méthodes soient différentes, il n’existe qu’une seule factorisation de 60. Un seul ensemble de nombres premiers se multiplie pour donner 60.

Notre prochain exemple dit : « Trouvez tous les facteurs premiers de 28 ».

Cette fois, nous sommes va essayer de diviser par des diviseurs principaux pour résoudre le problème. J’ai remarqué que 28 est un nombre pair. Je vais donc commencer par le diviser par deux. 28 divisé par deux nous laisse avec 14. Un autre nombre pair ! Je vais encore diviser par deux. 14 divisé par deux est sept. Nous reconnaissons maintenant que sept est un nombre premier. Et voilà la fin de cette étape. 28 est égal à deux fois deux fois sept. Et nous préférons l’écrire avec des exposants, ce qui nous laisse 28 égal à deux fois le carré sept.

Notre exemple suivant : Trouvez la factorisation en facteurs premiers de 468.

Vous pensez peut-être que 468 est un très grand nombre. Est-ce que ce sera très difficile de trouver la factorisation première pour 468 ? Mais la réponse est non. Nous allons suivre la même procédure. Et ce ne sera pas différent de trouver la factorisation première pour d’autres nombres, d’autres plus petits. D’accord ! Ensuite, utilisons la méthode de l’arborescence des diviseurs et trouvons ici la factorisation première. Encore une fois, nous reconnaissons qu’il s’agit d’un nombre pair. Donc, vous pouvez commencer automatiquement avec deux. Deux fois 234 est égal à 468. Deux est un nombre premier. Donc, cette branche est terminée.

234 est un nombre pair. Divisons 234 par deux. Deux fois 117 est égal à 234. Deux est un nombre premier. Cette branche est terminée. Nous avons maintenant besoin de certains diviseurs de 117. Si vous ne reconnaissez pas immédiatement quels sont les diviseurs de 117, la meilleure chose à faire est d’essayer de vérifier les facteurs premiers communs. Par exemple, nous savons que c’est un nombre impair et non divisible par deux. La somme des nombres un, un, sept est neuf, ce qui rend ceci divisible par trois.

Notre prochaine étape serait donc de diviser 117 par trois. Trois fois 39 est égal à 117. Trois est un nombre premier. Cette branche est terminée. Je vais déplacer les trente-neuf ici pour nous laisser un peu plus d’espace. Quels sont les deux diviseurs qui se multiplient pour donner 39 ? Il est assez facile de repérer que 39 est divisible par trois. 39 divisé par 13 est trois. Trois est un nombre premier. Cette branche est terminée. 13 est également premier, ce qui signifie que nous sommes enfin réduits à tous les facteurs premiers.

La fin de chaque branche est un diviseur premier. Nous sommes va les mettre tous ensemble pour faire la factorisation. Nous obtenons 468 est égal à deux fois deux fois trois fois trois fois 13, pour une réponse finale avec des exposants de deux fois le carré trois fois le carré 13 égale 468. Et ce n’est pas si mal après tout.

Et enfin, voici quelques astuces pour trouver la factorisation première. Numéro une : utilisez la méthode qui vous convient. Si vous préférez diviser par des facteurs premiers, c’est parfait ! Vous pouvez trouver la réponse en divisant par des facteurs premiers. Si vous préférez utiliser l’arbre de diviseurs et que cela fonctionne pour vous, utilisez cette méthode. Et deuxièmement, si vous êtes bloqué et que vous n’êtes pas sûr des diviseurs à vérifier, recherchez des nombres premiers plus grands. Essayez de diviser le nombre que vous factorisez par 13, 17, 19 ou un autre nombre premier. Et troisièmement, juste pratiquer. Reconnaître quels diviseurs sont en nombre vient avec la pratique. Vous obtiendrez plus rapidement et plus précisément la vérification de la factorisation grâce à la pratique.

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