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Vidéo de question : Calculer une limite utilisant la définition de la dérivée comme limite Mathématiques

On pose 𝑓(𝑥) = −3𝑥⁹ − 5, calculez lim_(ℎ→0)(𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥))/ℎ.

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Transcription de vidéo

Soit la fonction 𝑓 de 𝑥 égale moins trois 𝑥 puissance neuf moins cinq, calculez la limite lorsque ℎ tend vers zéro de 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 sur ℎ.

Avant de commencer à chercher la limite, considérons simplement l’expression 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 sur ℎ, et en particulier ce 𝑓 de 𝑥 plus ℎ. On a 𝑓 de 𝑥 égale moins trois 𝑥 puissance neuf moins cinq ; 𝑓 de 𝑥 plus ℎ est la même chose, mais en remplaçant 𝑥 par 𝑥 plus ℎ. Donc 𝑓 de 𝑥 plus ℎ égale moins trois fois 𝑥 plus ℎ puissance neuf moins cinq.

Et donc, en utilisant cela ainsi que la définition de 𝑓 de 𝑥, on obtient moins trois 𝑥 plus ℎ puissance neuf moins cinq moins entre parenthèses moins trois 𝑥 puissance neuf moins cinq, le tout divisé par ℎ. On peut se débarrasser d’une des parenthèses du numérateur ; moins moins trois 𝑥 puissance neuf moins cinq est égal à plus trois 𝑥 puissance neuf plus cinq. On remarque ensuite que les moins cinq et le plus cinq s’annulent.

Nous voilà maintenant prêts à chercher la limite. La limite lorsque ℎ tend vers zéro du membre de gauche, qui est 𝑓 de 𝑥 plus ℎ moins 𝑓 de 𝑥 sur ℎ, est égale à la limite lorsque ℎ tend vers zéro de moins trois fois 𝑥 plus ℎ puissance neuf plus trois 𝑥 puissance neuf sur ℎ. On voit qu’en remplaçant tout simplement ℎ par zéro dans le membre de droite on obtient une forme indéterminée. Il va falloir être un peu astucieux et réécrire ce terme.

On peut développer 𝑥 plus ℎ puissance neuf à l’aide de la formule du binôme pour obtenir cette monstruosité. Et on remarque que les termes indépendants de ℎ s’annulent. On obtient moins trois 𝑥 puissance neuf et trois fois 𝑥 puissance neuf. Et tout le reste possède un facteur ℎ, qu’on va donc faire sortir des parenthèses. Déplaçons maintenant le facteur ℎ en dehors des parenthèses, en retranchant un à l’exposant de ℎ dans chaque terme. Une fois que c’est fait, on simplifie le ℎ au numérateur avec celui du dénominateur.

Une fois arrangé, on obtient ce polynôme en 𝑥 et ℎ, dans lequel un remplacement permet de trouver la limite lorsque ℎ tend vers zéro. Et ceci relativement facile. Il n’y a qu’un seul terme qui ne contient pas ℎ, c’est moins 27 fois 𝑥 puissance huit. Tous les autres termes ont un facteur ℎ, et donc s’annulent après remplacement. Et donc, la limite est tout simplement moins 27𝑥 puissance huit.

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