Vidéo : Le théorème de Pythagore

Dans cette vidéo, nous allons apprendre comment utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la longueur de l’hypoténuse ou du côté adjacent ou opposé d’un triangle rectangle ainsi que son aire.

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Transcription de vidéo

Dans cette vidéo, nous allons apprendre à utiliser le théorème Pythagoricien, ou le théorème de Pythagore tel que vous le connaissez peut-être, pour trouver les longueurs des côtés dans les triangles rectangles. C’est extrêmement utile car les triangles droits peuvent être utilisés pour modéliser de nombreux scénarios physiques. Et ils sont souvent impliqués dans des problèmes d’aire. Le théorème de Pythagore est l’un de ces parties de mathématiques bien connues. Et beaucoup de gens se souviendront encore de son nom depuis leurs jours d’école, même s’ils ne se souviennent plus de ce que dit le théorème lui-même.

Alors, que dit le théorème de Pythagore ? Eh bien, le théorème de Pythagore porte sur la relation spéciale qui existe entre les longueurs des trois côtés d’un triangle rectangle, c’est-à-dire un triangle qui comprend un angle droit. Rappelez-vous, nous appelons le côté le plus long d’un triangle rectangle, qui est toujours le côté directement opposé à l’angle droit, l’hypoténuse. Le théorème de Pythagore dit alors ceci.

Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Souvent, nous utilisons les lettres 𝑎 et 𝑏 pour représenter les deux côtés les plus courts du triangle rectangle. Et nous utilisons la lettre 𝑐 pour représenter l’hypoténuse, ainsi le théorème de Pythagore peut être exprimé comme 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. Mais il est important de se souvenir de ce que dit le théorème lui-même, et pas seulement d’apprendre cette équation.

Sur une figure, ce que le théorème de Pythagore nous dit, c’est que si l’on devait dessiner un carré de chaque côté d’un triangle rectangle, alors la somme des aires de deux carrés plus petits serait égale à l’aire du plus grand carré. C’est le carré sur l’hypoténuse. Il existe de nombreuses façons différentes de prouver le théorème de Pythagore, mais l’une des plus intéressantes, à mon avis, est une méthode appelée dissection de Perigal. Nous n’entrerons pas dans les détails ici. Mais elle consiste à découper les deux plus petits carrés en haut et à réarranger les pièces pour qu’elles s’insèrent exactement dans le plus grand carré, comme vous pouvez le voir sur le schéma ici. Si vous le souhaitez, vous pouvez essayer vous-même en reproduisant ce diagramme sur une feuille de papier.

Voyons maintenant quelques exemples de la façon dont nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore. Nous allons commencer par envisager un exemple d’utilisation du théorème pour trouver l’hypoténuse d’un triangle rectangle.

Trouvez 𝑥 dans le triangle rectangle.

En regardant les informations qui nous ont été données, nous constatons tout d’abord que ce triangle est un triangle rectangle. Il comporte un angle droit. Et on nous a donné la longueur de deux de ses côtés. Ils sont de huit unités et de 15 unités. 𝑥 représente la longueur du troisième côté de ce triangle rectangle. Et à partir de sa position, directement opposée à l’angle droit, nous constatons que 𝑥 est l’hypoténuse de ce triangle. Comme on nous a donné les longueurs de deux côtés d’un triangle rectangle et que nous voulons calculer le troisième, c’est exactement ce dont nous avons besoin pour appliquer le théorème de Pythagore.

Celui-ci nous dit que, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés petits est égale au carré de l’hypoténuse. Nous allons donc commencer par écrire ce que le théorème de Pythagore nous dit sur ce triangle en particulier. Les deux côtés les plus courts sont de huit unités et de 15 unités. La somme des carrés des deux petits côtés est donc de huit au carré plus 15 au carré. Elle est alors égale au carré de l’hypoténuse. Et comme l’hypoténuse de notre triangle est 𝑥, nous avons maintenant l’équation huit au carré plus 15 au carré est égale à 𝑥 au carré.

Ainsi, en envisageant ce que le théorème de Pythagore nous dit sur ce triangle en particulier, nous avons une équation que nous pouvons résoudre afin de déterminer la valeur de 𝑥. Vous préférerez peut-être inverser les deux côtés de l’équation pour avoir 𝑥 au côté gauche, bien que cela ne soit pas entièrement nécessaire. Maintenant que nous avons formé notre équation, nous allons la résoudre en évaluant d’abord huit au carré et 15 au carré. Cela donne 𝑥 au carré égale 64 plus 225, ce qui donne 𝑥 au carré égale 289.

L’étape suivante pour résoudre cette équation est de déterminer la racine carrée de chaque côté car la racine carrée de 𝑥 au carré donnera 𝑥. Maintenant, généralement, lorsque nous résolvons une équation par la racine carrée, nous devons nous rappeler de prendre plus ou moins la racine carrée. Mais ici, 𝑥 a une signification physique ; c’est la longueur d’un côté dans un triangle. Il faut donc qu’elle prenne une valeur positive. Nous écrivons donc 𝑥 égale la racine carrée positive de 289. 289 est en fait un nombre carré, et sa racine carrée est 17. Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑥. 𝑥 vaut 17.

Nous devons toujours faire une vérification rapide de notre réponse en comparant la valeur que nous avons trouvée avec les deux autres côtés du triangle. N’oubliez pas que 𝑥 représente l’hypoténuse, qui est le côté le plus long de ce triangle rectangle. Notre valeur pour 𝑥 doit donc être supérieure à la longueur des deux autres côtés. Notre valeur est de 17 et les deux autres côtés sont de 15 et 8. Notre réponse est donc logique.

En fait, ce triangle est un exemple d’un type spécial de triangle rectangle, appelé triplet de Pythagore. Il s’agit d’un triangle rectangle dont les longueurs des trois côtés sont des entiers. Le triplet de Pythagore le plus connu est le triangle trois-quatre-cinq, car trois au carré plus quatre au carré égale cinq au carré. Vous pouvez rencontrer des triplets de Pythagore lorsque vous travaillez sans calculatrice. C’est donc une bonne idée de se familiariser avec les plus fréquents. En appliquant le théorème de Pythagore, nous avons trouvé que la valeur de 𝑥 dans le triangle rectangle est 17.

Dans notre exemple suivant, nous allons voir comment appliquer le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l’un des deux petits côtés d’un triangle rectangle.

Trouvez 𝑥 dans le triangle rectangle.

Nous avons donc un triangle rectangle. Et on nous demande de trouver la valeur de 𝑥, qui représente la longueur de l’un des côtés du triangle. On nous a donné la longueur des deux autres côtés. Nous avons donc exactement les bonnes informations pour appliquer le théorème de Pythagore. Il nous dit que, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Maintenant, avant d’appliquer le théorème de Pythagore, nous devons être très prudents et nous assurer que nous identifions correctement quel côté du triangle est l’hypoténuse. Et n’oubliez pas que c’est toujours le côté directement opposé à l’angle droit. Donc, dans ce cas, l’hypoténuse du triangle est de 13 unités.

Le côté qu’on nous demande de trouver, la longueur 𝑥, est l’un des deux côtés courts de ce triangle rectangle. La première chose que nous faisons alors est d’écrire ce que le théorème de Pythagore nous dit à propos de ce triangle. Les deux côtés les plus courts sont 𝑥 et 12. La somme de leurs carrés sera donc 𝑥 au carré plus 12 au carré. L’hypoténuse du triangle est de 13 unités. Donc, si la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse, nous avons l’équation 𝑥 au carré plus 12 au carré égale 13 au carré.

Maintenant que nous avons formé notre équation, nous allons la résoudre pour déterminer la valeur de 𝑥. Tout d’abord, nous évaluons 12 au carré et 13 au carré, ce qui donne 𝑥 au carré plus 144 égale 169. Nous voulons mettre 𝑥 ou 𝑥 au carré seule au côté gauche de l’équation. L’étape suivante consiste donc à soustraire 144 de chaque côté. Sur le côté gauche, 𝑥 au carré plus 144 moins 144 ne laisse que 𝑥 au carré. Et à droite, 169 moins 144 donne 25.

La dernière étape consiste à prendre la racine carrée de chaque côté de l’équation, en se rappelant qu’il suffit de prendre la racine carrée positive car 𝑥 représente une longueur. Elle doit donc avoir une valeur positive. 𝑥 est donc égale à la racine carrée de 25. Et comme 25 est un nombre carré, sa racine carrée est un entier ; c’est simplement cinq. Nous avons donc trouvé la valeur de 𝑥. 𝑥 égale cinq. Maintenant, en fait, ce triangle est un exemple de triplet de Pythagore. C’est un triangle rectangle où les trois longueurs sont des entiers.

Nous devrions également vérifier rapidement notre réponse. Rappelez-vous que nous cherchions à calculer l’un des côtés les plus courts de ce triangle. Notre valeur de 𝑥 doit donc être inférieure à la longueur qui nous a été donnée pour l’hypoténuse. Cinq est certainement inférieur à 13. Notre réponse est donc logique. En appliquant le théorème de Pythagore, nous avons donc résolu ce problème. La valeur de 𝑥 est cinq. Nous devons être vraiment prudents lorsque nous établissons notre équation. Et nous devons nous assurer avant de commencer si l’on nous demande de trouver la longueur d’un des petits côtés ou celle de l’hypoténuse.

Nous avons donc vu un exemple de calcul de la longueur de l’hypoténuse et un exemple de calcul de la longueur de l’un des petits côtés. Le théorème de Pythagore est vraiment utile car il nous aide à répondre à de nombreux et différents types de problèmes pratiques. Nous allons donc maintenant envisager quelques exemples en nous concentrant davantage sur la résolution de problèmes.

Déterminez la longueur de la diagonale du rectangle dont la longueur est de 48 centimètres et la largeur de 20 centimètres.

On ne nous a pas donné de figure pour cette question. C’est donc toujours une bonne idée de commencer par dessiner la nôtre. Nous avons un rectangle de 48 centimètres de long et de 20 centimètres de large. La longueur qu’on nous a demandé de calculer est la diagonale de ce rectangle. C’est la ligne qui relie les coins opposés entre eux. Nous pouvons utiliser la lettre 𝑑 pour représenter cette longueur inconnue. Nous savons que tous les angles intérieurs d’un rectangle sont de 90 degrés. Donc, en fait, ce problème ne concerne pas seulement les rectangles. Il concerne également les triangles rectangles, c’est-à-dire le triangle formé par la longueur du rectangle, sa largeur et cette diagonale.

En regardant le triangle inférieur sur notre figure, nous pouvons voir qu’on nous a donné la longueur de deux de ses côtés — elles sont de 20 centimètres et 48 centimètres — et qu’on nous a demandé de calculer la longueur de son troisième côté. Et comme il s’agit d’un triangle rectangle, nous allons pouvoir le faire en appliquant le théorème de Pythagore. Celui-ci nous dit que, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Maintenant, avant d’essayer d’appliquer le théorème de Pythagore, nous devons identifier lequel des trois côtés on nous demande de calculer. N’oubliez pas que l’hypoténuse est toujours le côté directement opposé à l’angle droit. Donc le côté que nous cherchons à trouver est l’hypoténuse d’un triangle.

On se demande alors « que nous dit le théorème de Pythagore, non seulement en général, mais sur ce triangle en particulier ?» Eh bien, comme les deux côtés les plus courts sont de 48 et 20 centimètres, la somme de leurs carrés est 48 au carré plus 20 au carré. Et le carré de l’hypoténuse est 𝑑 au carré. Nous avons donc l’équation 48 au carré plus 20 au carré égale 𝑑 au carré. Nous pouvons bien sûr inverser les deux côtés de l’équation si nous préférons avoir 𝑑 au carré au côté gauche. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, nous avons formé une équation que nous pouvons maintenant résoudre afin de déterminer la valeur de 𝑑.

Tout d’abord, nous évaluons 48 au carré et 20 au carré, puis nous additionnons ces valeurs pour obtenir 𝑑 au carré égale 2704. La dernière étape de la résolution de cette équation consiste à prendre la racine carrée de chaque côté, ce qui donne 𝑑 égale la racine carrée de 2704. Or, 2704 est en fait un nombre carré, bien qu’il ne soit probablement pas un nombre que vous connaissez trop bien. Sa racine carrée est simplement 52. Nous savons donc que 𝑑 égale 52. La longueur de la diagonale de ce rectangle est donc de 52 centimètres.

Maintenant, nous devrions procéder à une vérification rapide de notre réponse. Rappelez-vous que 𝑑 était l’hypoténuse de ce triangle. Il est censé être le côté le plus long. Nous devons donc vérifier que notre valeur a un sens. Eh bien, 52 est en effet supérieure à la longueur de chacun des autres côtés. C’est donc une valeur logique pour l’hypoténuse de ce triangle. Nous avons donc résolu le problème. L’étape clé de cette question était de dessiner d’abord notre propre figure. Et une fois que nous l’avons fait, nous avons vu que ce problème ne concernait pas seulement les rectangles. Il s’agissait en fait de triangles rectangles. Et nous avons donc pu le résoudre en appliquant le théorème de Pythagore.

Voyons maintenant un dernier exemple impliquant des points tracés sur une grille de coordonnées.

Un triangle a comme sommets les points 𝐴 quatre ; un, 𝐵 six ; deux et 𝐶 deux ; cinq. Calculez la longueur des côtés du triangle. Donnez vos réponses sous forme de nombres irrationnels dans leur forme la plus simple. Et deuxièmement, ce triangle est-il un triangle rectangle ?

Commençons par tracer ce triangle sur une grille de coordonnées. Nous n’avons absolument pas besoin de tracer ce triangle avec précision. Nous n’allons pas mesurer la longueur d’aucune des lignes. Nous voulons juste le dessiner en utilisant la position approximative de ces trois points les uns par rapport aux autres.

Le triangle ressemble donc un peu à ceci. D’après notre croquis, il semble possible que ce soit un triangle rectangle avec un angle droit (𝐴). Mais nous ne pouvons pas le confirmer à partir de notre croquis. Examinons la première partie de la question. Nous devons trouver les longueurs des trois côtés du triangle. Et nous allons commencer par trouver la longueur du côté 𝐴𝐵.

Nous pouvons dessiner un triangle rectangle sous cette ligne en utilisant 𝐴𝐵 comme hypoténuse. Nous pouvons également déterminer la longueur des deux autres côtés de ce triangle. Le côté horizontal sera la différence entre les valeurs de 𝑥 en ses extrémités. C’est la différence entre six et quatre, c’est-à-dire deux. Et le côté vertical sera la différence entre les valeurs de 𝑦 en ses extrémités. C’est la différence entre deux et un, ce qui fait un.

Comme nous avons maintenant la longueur de deux côtés dans un triangle rectangle et que nous souhaitons calculer la longueur du troisième côté, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore, qui nous dit que, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse. Rappelons que 𝐴𝐵 est l’hypoténuse. Nous avons donc 𝐴𝐵 au carré égale un carré plus deux carrés. Un au carré égale un et deux au carré égale quatre. En additionnant ces valeurs, nous obtenons 𝐴𝐵 au carré égale cinq.

Pour trouver la longueur de 𝐴𝐵, nous devons calculer la racine carrée de chaque côté de cette équation. Et n’oubliez pas qu’à ce stade, on nous a dit de donner notre réponse sous forme de nombres irrationnels. Nous avons donc 𝐴𝐵 égale racine cinq. Nous pouvons trouver les longueurs des deux autres côtés du triangle de la même manière. Nous traçons un triangle rectangle sous la ligne 𝐵𝐶. Et nous voyons qu’il a un côté horizontal de quatre unités et un côté vertical de trois unités.

𝐵𝐶 est l’hypoténuse de ce triangle. Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, nous avons 𝐵𝐶 au carré égale trois au carré plus quatre au carré. C’est neuf plus 16, soit 25. 𝐵𝐶 égale donc la racine carrée de 25, qui est simplement l’entier cinq. De la même manière, 𝐴𝐶 est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés courts sont de deux et de quatre unités. 𝐴𝐶 est donc égal à la racine carrée de 20, qui se simplifie en deux racine cinq.

Nous avons donc répondu à la première partie de la question. Et maintenant, nous devons déterminer si ce triangle est un triangle rectangle. Si c’est le cas, alors le théorème de Pythagore tiendra pour ses trois longueurs de côtés. Nous pensions que l’angle droit se trouvait en 𝐴, ce qui ferait de 𝐵𝐶 l’hypoténuse du triangle s’il s’agit bien d’un triangle rectangle.

Nous voulons donc savoir si 𝐵𝐶 au carré égale 𝐴𝐵 au carré plus 𝐴𝐶 au carré. En fait, nous pouvons utiliser les longueurs des côtés au carré. Nous savons que 𝐵𝐶 au carré égale 25. Nous savons que 𝐴𝐵 au carré égale cinq. Et nous savons que 𝐴𝐶 au carré égale 20. Alors, est-il vrai que 25 égale cinq plus 20 ? Oui, bien sûr, c’est vrai, ce qui signifie que le théorème de Pythagore s’applique à ce triangle. Et donc, il s’agit bien d’un triangle rectangle. Nous avons donc résolu le problème. Nous avons les trois longueurs de côté. 𝐴𝐵 égale racine carrée de cinq, 𝐵𝐶 égale cinq, et 𝐴𝐶 égale deux racine cinq. Et nous avons déterminé que le triangle est un triangle rectangle.

Résumons maintenant ce que nous avons vu dans cette vidéo. Le théorème de Pythagore nous dit que, dans un triangle rectangle, la somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré de l’hypoténuse, que l’on peut souvent voir écrit comme 𝑎 au carré plus 𝑏 au carré égale 𝑐 au carré. La première étape de tout problème devrait être d’écrire ce que le théorème de Pythagore nous dit sur le triangle de ce problème. Autrement dit, nous formons une équation. Nous résolvons ensuite notre équation, ce qui implique déterminer la racine carrée. Enfin, nous devons toujours vérifier notre réponse en nous assurant que la valeur que nous avons calculée est logique en ce qui concerne les longueurs des deux autres côtés.

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