Transcription de la vidéo
Une voiture qui se déplace initialement avec une vitesse constante parcourt une distance de 15 m en accélérant en ligne droite pendant 10 s à 2,5 m / s² dans la direction opposée à son vecteur-vitesse initial. Quelle est la vitesse initiale de la voiture ?
Alors, dans cette question, nous avons une voiture qui se déplace initialement, à vitesse constante. Pour l’instant, nous ne connaissons pas la valeur de cette vitesse. Et en fait, c’est justement ce qu’on nous demande de déterminer dans cette question. Sur ce schéma, nous avons dessiné la voiture se déplaçant vers la droite. On peut donc dire que la voiture a un vecteur-vitesse initial dirigé vers la droite et nous allons appeler la norme de ce vecteur-vitesse initial 𝑢.
Rappelons que le vecteur-vitesse est une quantité vectorielle, ce qui signifie qu’il possède une direction et une norme. Dans ce cas, la norme de la vitesse est 𝑢 et sa direction est vers la droite. Alors, dans la question, on nous demande quelle est la vitesse initiale de la voiture et on peut considérer la vitesse comme l’équivalent scalaire du vecteur-vitesse. Comme la vitesse est une quantité scalaire, elle n’est pas associée à une direction et elle est seulement définie par sa norme. Dans le cas de la voiture de cette question, nous avons défini 𝑢 comme étant la norme du vecteur-vitesse initiale et ce sera également la vitesse initiale de la voiture.
On peut aussi se demander pourquoi parler du vecteur-vitesse alors qu’on nous demande de trouver la vitesse initiale de la voiture. C’est parce que l’information sur la direction est importante dans cette question et en fait on nous dit que la voiture accélère dans la direction opposée au vecteur-vitesse initial. Donc, comme la vitesse est dirigée vers la droite, cela signifie que l’accélération, que nous avons appelée 𝑎, est dirigée vers la gauche.
Lorsque l’accélération d’un objet se fait dans la direction opposée au mouvement de l’objet, cette accélération tend à ralentir l’objet et dans ce cas, on peut aussi l’appeler décélération. On nous dit que l’accélération a une norme de 2,5 mètres par seconde au carré. Et donc, cette quantité 𝑎, l’accélération de la voiture, a une valeur de moins 2,5 mètres par seconde au carré. Alors, ce signe négatif vient du fait que l’accélération est une grandeur vectorielle, tout comme la vitesse. Elle a donc aussi une direction. En définissant 𝑢 comme la norme du vecteur-vitesse initial, nous avons implicitement défini cette direction vers la droite comme étant la direction positive.
Si la direction positive est vers la droite, cela signifie que tous les vecteurs dirigés vers la droite ont une valeur positive, tandis que tous les vecteurs dirigés vers la gauche sont négatifs. Comme l’accélération de la voiture est dirigée vers la gauche, la valeur de l’accélération a donc un signe négatif. On nous dit que la voiture accélère pendant 10 secondes. Et nous avons appelé ce temps 𝑡. On nous dit également que la voiture parcourt une distance de 15 mètres pendant son accélération. Alors, après avoir accéléré sur cet intervalle de 10 secondes, la voiture aura parcouru une distance de 15 mètres, que nous avons appelée 𝑠.
Nous connaissons donc la valeur de l’accélération de la voiture, nous savons pendant combien de temps elle accélère, et nous connaissons la distance parcourue pendant son accélération. Ce que nous ne connaissons pas, c’est le vecteur-vitesse initial de la voiture. Mais ça tombe bien, il se trouve que l’une des équations de la cinématique permet de relier ces quatre grandeurs. Plus précisément, l’équation qui nous intéresse dit que 𝑠 est égal à 𝑢 fois 𝑡 plus un demi fois 𝑎 fois 𝑡 au carré.
Il y a deux conditions à remplir pour pouvoir utiliser cette équation. La première, c’est que le mouvement doit se faire en ligne droite et la seconde, c’est que l’accélération doit avoir une valeur constante. Dans notre cas, on nous dit que l’accélération se fait en ligne droite, donc nous savons que la première condition est remplie.
Nous savons également que la valeur de l’accélération est de moins 2,5 mètres par seconde au carré. La norme et la direction de l’accélération ont des valeurs fixes car aucune des deux ne dépend du temps ou de la distance parcourue. L’accélération est donc constante.
Comme les deux conditions sont remplies, nous pouvons donc continuer et utiliser cette équation pour résoudre le problème. Alors, dans notre cas, la quantité que nous essayons de déterminer est cette vitesse initiale 𝑢, nous voulons donc modifier cette équation afin d’exprimer 𝑢 en fonction des autres grandeurs. Pour cela, commençons par soustraire un demi fois 𝑎 fois 𝑡 au carré des deux côtés de l’équation. À droite, les deux termes, plus un demi fois 𝑎 fois 𝑡 au carré et moins un demi fois 𝑎 fois 𝑡 au carré, s’annulent.
Puis, nous pouvons ensuite diviser les deux côtés de l’équation par le temps 𝑡. Sur le côté droit, le 𝑡 au numérateur se simplifie avec le 𝑡 au dénominateur et il nous reste seulement 𝑢. On peut alors écrire cette équation dans l’autre sens, ce qui donne que 𝑢 est égal à 𝑠 moins un demi fois 𝑎 fois 𝑡 au carré le tout divisé par 𝑡. En séparant cette expression en deux fractions, nous pouvons voir que dans cette deuxième fraction le facteur de 𝑡 peut se simplifier au numérateur et au dénominateur. On peut donc écrire 𝑠 sur 𝑡 moins 𝑎 fois 𝑡 sur deux.
Maintenant que nous avons une expression de la vitesse initiale 𝑢, nous pouvons utiliser les valeurs de 𝑠, 𝑎 et 𝑡 et les remplacer. En faisant cela, nous obtenons cette expression ici pour 𝑢. Pour le premier terme, nous avons 15 mètres, c’est la valeur de 𝑠, divisée par 10 secondes, la valeur de 𝑡. Le premier terme vaut 1,5 mètre par seconde. Ensuite, il faut soustraire un deuxième terme égal à moins 2,5 mètres par seconde au carré, c’est l’accélération 𝑎, multipliée par 10 secondes, le temps 𝑡, le tout divisé par deux. Ce deuxième terme vaut moins 12,5 mètres par seconde. Et au total, nous avons que 𝑢 est égal à 1,5 mètres par seconde moins 12,5 mètres par seconde.
Comme nous avons une soustraction d’une quantité négative, ces deux signes moins s’annulent. Nous avons donc que 𝑢 est égal à 1,5 mètre par seconde plus 12,5 mètres par seconde. Ce qui fait 14 mètres par seconde. Pour parler du vecteur-vitesse, vu comment nous avons dessiné les choses sur le schéma, nous pourrions dire que la vitesse initiale de la voiture est soit 14 mètres par seconde, soit de 14 mètres par seconde vers la droite. Mais on nous demande de déterminer la vitesse initiale de la voiture, qui est la norme du vecteur-vitesse initial. Nous ne devons donc pas inclure d’informations sur la direction dans la réponse. La réponse à cette question est donc que la vitesse initiale de la voiture est de 14 mètres par seconde.
