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Vidéo de question : Résoudre des équations du second degré en complétant le carré Mathématiques

Résolvez l’équation −𝑥² + 7𝑥 + 1 = 0.

05:35

Transcription de vidéo

Résolvez l’équation moins 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus un égale à zéro.

Nous pouvons commencer par recopier l’équation exactement telle qu’elle a été formulée dans l’énoncé. Puis j’ai remarqué ce coefficient directeur négatif.

Puisque je vais devoir faire une factorisation ou compléter le carré, je veux m’assurer que mon coefficient directeur est positif, et je peux le faire en le déplaçant à l’autre membre de l’équation. J’ajoute 𝑥 au carré aux deux membres.

Mais je ne veux pas seulement déplacer mon coefficient directeur ; je veux garder toute l’équation au même membre. Cela signifie que je soustrais également sept 𝑥 des deux membres de l’équation. Je vais également soustraire un des deux membres de l’équation. Essentiellement, nous venons d’inverser le problème. Nous avons maintenant zéro est égal à 𝑥 au carré moins sept 𝑥 moins un.

Je commence à réfléchir à la manière de factoriser et de résoudre cette équation, et j’ai regardé le troisième terme. Si je voulais factoriser le problème comme ça, je devrais prendre deux facteurs du troisième terme, quelque chose comme ça, 𝑥 moins un 𝑥 plus un. Le problème est que nous avons ce troisième terme moins sept, donc ce genre de factorisation ne nous aidera pas à résoudre ce problème. Pour résoudre ce problème, nous devrons utiliser une stratégie appelée compléter le carré.

La première étape ici serait de déplacer le nombre entier un à l’autre membre de l’équation. Il nous reste un égal à 𝑥 au carré moins sept 𝑥. Compléter le carré fonctionne en prenant le coefficient du terme de milieu, le b ici. Nous utilisons ensuite quelle que soit la valeur de b, et nous la divisons par deux, puis nous la mettons au carré.

Après cela, nous ajoutons cette valeur aux deux membres de l’équation. Dans notre cas, le b est égal à moins sept, nous devrons donc ajouter moins sept sur deux au carré aux deux membres de notre équation. Ce serait moins sept au carré sur deux au carré, ce qui se simplifie à 49 sur quatre. Nous devons ajouter 49 sur quatre aux deux membres de notre équation.

Notez que, au lieu de dire 49 sur quatre plus un, j’ai dit 49 sur quatre plus quatre sur quatre. Quatre sur quatre est égal à un, et nous pouvons additionner ces termes ensemble si nous leur donnons un dénominateur commun. Le reste consiste à recopier. 49 quarts plus quatre quarts est égal à 53 quarts.

Maintenant, nous devons factoriser 𝑥 au carré moins sept 𝑥 plus 49 sur quatre. Et si vous n’avez pas immédiatement reconnu le modèle, c’est correct, car compléter le carré nous dit que le facteur de ce problème sera égal à 𝑥 plus b sur deux au carré. Nous ajoutons 𝑥 plus ; rappelez-vous que b était moins sept sur deux au carré, mais nous n’avons toujours pas résolu l’équation.

Résoudre l’équation signifie que nous savons la valeur de 𝑥. Maintenant, nous devons obtenir 𝑥 complètement par lui-même. Pour nous débarrasser de ce carré, nous devrons prendre la racine carrée des deux membres de notre équation. Maintenant, il nous reste la racine carrée de 53 sur la racine carrée de quatre égale 𝑥 plus moins sept sur deux.

De cette ligne, nous pouvons prendre la racine carrée de quatre, ce qui équivaut à deux. Nous allons garder la racine carrée de 53 et dire que nous avons besoin de la racine carrée positive de 53 et de la racine carrée négative de 53.

Pour obtenir 𝑥 par lui-même, nous devrons ajouter sept sur deux aux deux membres de l’équation. Sur le membre droit, le moins sept sur deux et les sept sur deux s’annulent. Sur le membre gauche, nous avons sept sur deux plus ou moins la racine carrée de 53 sur deux. Ce plus ou moins nous indique qu’il y aura deux solutions ici.

La première solution sera sept plus la racine carrée de 53 sur deux, et la deuxième solution sera sept moins la racine carrée de 53 sur deux. Ce sont les deux solutions de l’équation moins 𝑥 au carré plus sept 𝑥 plus un.

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