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Vidéo de question : Déterminer la limite d’un quotient de fonctions trigonométriques et linéaires en un point Mathématiques

Calculez lim_ (𝑥 → (π / 4)) ((9 sin 𝑥) / 5𝑥).

06:44

Transcription de vidéo

Calculez la limite de la fonction neuf sinus 𝑥 sur cinq 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre.

Nous savons que pour une fonction 𝐹, nous pouvons utiliser la méthode de substitution directe pour évaluer la limite de 𝑓 si 𝑓 est une fonction trigonométrique, exponentielle, polynomiale ou logarithmique. Et si 𝑓 est le quotient de fonctions qui sont compatibles avec la substitution directe. Etant donné que 𝑓 est le quotient d’une fonction trigonométrique et d’un polynôme, nous pouvons évaluer notre limite en utilisant la substitution directe. Puisque notre limite est en 𝜋 sur quatre, nous pouvons substituer la valeur de 𝜋 sur quatre dans notre fonction et calculer le résultat. Cela nous donne l’expression neuf sinus 𝜋 sur quatre divisé par cinq multiplié par 𝜋 sur quatre. Nous pouvons alors simplifier cette expression pour obtenir neuf racine de deux sur deux divisée par cinq 𝜋 sur quatre.

Nous pouvons alors utiliser la règle qui nous dit que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse pour voir que notre limite est égale à neuf racine de deux sur deux multipliée par quatre divisée par cinq 𝜋. Nous pouvons simplifier par deux au numérateur et au dénominateur. Enfin, nous pouvons multiplier ces deux fractions ensemble pour obtenir que la limite de neuf sin 𝑥 divisé sur cinq 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre est égale à 18 racine de deux sur cinq 𝜋. Maintenant, nous pourrions nous arrêter là. Mais libérons de l’espace et essayons de justifier pourquoi nous pouvons utiliser la substitution directe pour évaluer cette limite.

Si nous essayions de résoudre ce problème sans utiliser la substitution directe, nous pourrions être tentés d’utiliser la règle du quotient pour les limites, qui dit que pour toutes fonctions 𝑓 de 𝑥 et 𝑔 de 𝑥, si la limite de 𝑔 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎 n’est pas nulle, alors la limite du quotient est égale au quotient des limites. Dans notre cas, nous avons 𝑔 de 𝑥 égale à cinq 𝑥 et 𝑎 égale 𝜋 sur quatre. Par conséquent, pour justifier la possibilité d’utiliser la règle du quotient pour les limites, il faut que la limite de cinq 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre ne soit pas égale à zéro. Bon, essayons donc d’évaluer cette limite sans utiliser la méthode de substitution directe.

Nous savons que pour deux fonctions. Le produit des limites est égal à la limite des produits. Nous pourrions donc écrire notre limite de cinq 𝑥 comme la limite de cinq quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre multipliée par la limite de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre. Ensuite, nous savons que pour toute constante 𝐾, la limite quand 𝑥 tend vers 𝑎 de 𝐾 est juste égale à 𝐾. Nous pouvons appliquer cela pour en déduire que la limite de cinq quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre est juste égale à cinq. Nous savons également que la limite de la fonction 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎 est juste égale à 𝑎.

Ainsi, nous pouvons appliquer cela pour voir que la limite de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre est égale à 𝜋 sur quatre. Nous pouvons maintenant voir que la limite de notre fonction cinq 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre n’est pas égale à zéro. Cela justifie notre utilisation de la règle du quotient pour les limites. Alors maintenant que nous avons justifié pouvoir utiliser la règle du quotient pour les limites, libérons de l’espace et revenons à la limite dans la question.

Nous commençons par réécrire notre limite comme le quotient de ces deux limites. Maintenant, nous voulons utiliser le fait que la limite d’un produit est égale au produit des limites pour réécrire à la fois la limite au numérateur et la limite au dénominateur. Nous pouvons séparer le numérateur en deux. C’est la limite de neuf quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre multipliée par la limite du sinus 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre. Nous pouvons faire la même chose pour le dénominateur, ce qui nous donne la limite de cinq quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre multipliée par la limite de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre.

Maintenant, nous pouvons utiliser le fait que la limite de toute constante 𝐾 est juste égale à 𝐾 pour déterminer la limite de neuf au numérateur et la limite de cinq au dénominateur. Cela nous donne neuf fois la limite du sinus 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre divisé par cinq fois la limite de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre. Ensuite, nous pouvons utiliser le fait que la limite de la fonction 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝑎 pour déterminer notre limite de 𝑥 au dénominateur. Nous pouvons donc remplacer notre limite de 𝑥 par 𝜋 sur quatre. Cela signifie que la dernière chose que nous devons évaluer est la limite de sinus 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre.

On peut rappeler que la limite déterminée par la méthode de substitution directe revient à dire que la fonction sin 𝑥 est continue en 𝜋 sur quatre. Mais nous n’avons pas besoin de nous en inquiéter ici. Nous pouvons essayer de justifier notre utilisation de la substitution directe en regardant un tableau de valeur de la fonction sin 𝑥. Sur la rangée du haut, nous aurons nos valeurs de 𝑥. Et sur la rangée du bas, nous aurons leurs images par la fonction sin 𝑥. Nous allons inclure une valeur pour 𝜋 sur quatre dans notre tableau. Mais puisque c’est la valeur que nous essayons d’évaluer, nous laisserons vide la case de son image. Nous ajoutons quelques valeurs de 𝑥 autour de 𝜋 sur quatre, qui se rapprochent progressivement de 𝜋 sur quatre. Nous pouvons déterminer les images de notre fonction en substituant nos valeurs de 𝑥 dans la fonction sin 𝑥. Cela nous donne le tableau suivant.

Nous savons que la limite d’une fonction 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎 est égale à 𝐿 si la limite de 𝑓 de 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝑎 à la fois à gauche et à droite est égale à 𝐿. Donc, pour déterminer notre limite quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre, nous devrons évaluer la limite à gauche et à droite. Nous pouvons utiliser les valeurs suivantes dans notre tableau pour évaluer la limite à gauche. Nous écrivons les valeurs des images les unes à la suite des autres. Et nous pouvons voir que lorsque 𝑥 se rapproche de plus en plus de 𝜋 sur quatre, les images se rapprochent de racine carrée de deux sur deux. Nous pouvons faire de même pour la limite à droite. Et nous pouvons voir que lorsque 𝑥 se rapproche de 𝜋 sur quatre de la droite, ses images se rapprochent de plus en plus de racine carrée de deux sur deux. Par conséquent, les limites de sin 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 par quatre à gauche et à droite sont égales à racine carrée de deux sur deux.

Par conséquent, puisque les limites à gauche et à droite sont toutes deux égales à racine carrée de deux sur deux, nous en déduisons que la limite de sin 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre est égale à racine carrée de deux sur deux. Nous pouvons alors remplacer la limite de sin 𝑥 dans notre expression par la racine carrée de deux sur deux. Cela nous donne que notre limite est égale à neuf multiplié par racine carrée de deux sur deux divisé par cinq multiplié par 𝜋 sur quatre. Enfin, si nous devions simplifier cette expression, nous obtiendrions que la limite de neuf sin 𝑥 sur cinq 𝑥 quand 𝑥 tend vers 𝜋 sur quatre est égale à 18 racine de deux sur cinq 𝜋.

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