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Vidéo de question : Résoudre des équations logarithmiques sur l’ensemble des nombres réels Mathématiques

Résolvez log₂ [251 + log₃ (𝑥 + 7)] = 8, où 𝑥 ∈ ℝ.

02:39

Transcription de vidéo

Résolvez l’équation logarithme de base deux de 251 plus logarithme de base trois de 𝑥 plus sept égale huit, où 𝑥 est un élément des nombres réels.

Ici, nous avons une équation logarithmique. Cette équation implique des logarithmes avec deux bases différentes. Nous avons le logarithme de base deux ici et le logarithme de base trois ici. Maintenant, nous rappelons qu’un logarithme est la puissance à laquelle un nombre doit être élevé pour obtenir un autre nombre.

Prenons un logarithme général. Disons que le logarithme de base 𝑏 de 𝑎 est égal à 𝑐. Maintenant, prendre le logarithme de base 𝑏 est essentiellement la réciproque d’élever à la puissance 𝑏. Nous élevons donc les deux membres comme une puissance de 𝑏. Et nous obtenons 𝑏 à la puissance de logarithme de base 𝑏 de 𝑎 est égal à 𝑏 à la puissance 𝑐. Et puisque prendre le logarithme de base 𝑏 est la réciproque de l’élever comme puissance de 𝑏, le membre gauche devient simplement 𝑎. Et le logarithme de base 𝑏 de 𝑎 égal à 𝑐 équivaut à dire que 𝑎 est égal à 𝑏 à la puissance de 𝑐.

Et nous pouvons donc envisager de résoudre notre équation de deux façons. Nous pourrions utiliser cette définition générale, ou nous pourrions élever les deux membres comme une puissance de deux. Lorsque nous le faisons, sur le membre gauche, c’est l’équivalent de la lettre 𝑎 dans notre forme générale. Il nous reste 251 plus le logarithme de base trois de 𝑥 plus sept. Et ceci équivaut à deux à la puissance huit dans notre forme générale. C’est 𝑏 à la puissance 𝑐. Deux à la puissance huit est 256. Donc, notre équation est 251plus logarithme de base trois 𝑥 plus sept égale 256. Soustrayons 251 des deux membres. Et quand nous le faisons, nous voyons que le logarithme de base trois de 𝑥 plus sept est égale à cinq.

Et maintenant nous allons effectuer une étape similaire à notre première étape ici. Nous pourrions utiliser la définition générale ou élever de manière équivalente les deux membres. Mais cette fois, nous le faisons comme une puissance de trois. Lorsque nous le faisons, sur le membre gauche, il nous reste simplement 𝑥 plus sept. Et bien sûr, encore une fois, cela équivaut à 𝑎 dans la définition générale. Sur le membre droit, nous obtenons trois à la puissance cinq. Trois à la puissance cinq est 243. Donc notre équation devient 𝑥 plus sept égale 243.

Rappelez-vous, nous résolvons pour 𝑥. Donc, enfin, nous soustrayons simplement sept des deux membres. 243 moins sept est 236. Et nous avons donc résolu l’équation. Nous obtenons 𝑥 est égal à 236. Et bien sûr, nous pourrions vérifier la solution en fonction de la fonctionnalité de notre calculatrice en remplaçant 𝑥 égal à 236 dans notre expression d’origine et en vérifiant que nous obtenons bien huit.

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