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Résolvez l’équation logarithme du logarithme de base deux de logarithme base 𝑥 de 36 est égal à zéro, où 𝑥 est un élément de l’ensemble des nombres réels.
On nous a donné une équation logarithmique, et nous cherchons à trouver la valeur de 𝑥. Notez que trois logarithmes sont impliqués. Donc, nous allons devoir faire très attention. Mais qu’entendons-nous par logarithme? Eh bien, prenons l’équation générale logarithme de base 𝑏 de 𝑎 est égal à 𝑐. Le logarithme de 𝑏 est la réciproque de l’exposant de 𝑏. Donc, élevons les deux membres de cette équation générale comme une puissance de 𝑏 telle que 𝑏 à la puissance de logarithme base 𝑏 de 𝑎 égale 𝑏 à la puissance 𝑐. Puisque le logarithme de base 𝑏 est la réciproque de l’exposant de 𝑏, 𝑏 à la puissance du logarithme de base 𝑏 de 𝑎 est simplement 𝑎. Nous disons donc, que le logarithme de base 𝑏 de 𝑎 égal à 𝑐 équivaut à dire que 𝑎 est égal à 𝑏 à la puissance 𝑐.
Nous pouvons utiliser cette définition ou utiliser le fait que le logarithme de base est l’opération réciproque de l’exponentielle. Nous avons cependant un petit problème. Nous avons ici le logarithme de base 𝑥 et le logarithme de base deux ici. Mais quelle est la base de ce logarithme? Eh bien, pour l’instant, appelons-le 𝑏. Ainsi, le logarithme de base 𝑏 d’un certain nombre est égal à zéro. Nous pouvons soit élever les deux membres comme puissance de 𝑏 pour effectuer l’opération réciproque deux logarithme base 𝑏 ou simplement utiliser notre définition. Et quand nous le faisons, il nous reste simplement, sur le membre gauche, le logarithme de base deux du logarithme de base 𝑥 de 36. C’est l’équivalent de 𝑎 dans notre définition, et c’est égal à 𝑏 à la puissance zéro. Eh bien, c’est 𝑏 à la puissance 𝑐 dans notre définition.
Nous savons, bien sûr, que tout ce qui a une puissance de zéro est un. Ainsi, notre équation devient logarithme de base deux du logarithme de base 𝑥 de 36 est égal à un. Nous allons maintenant aborder ce logarithme de base deux. Et nous allons résoudre ceci en élevant les deux membres à une puissance de deux ou en revenant à notre définition. Lorsque nous le faisons, le membre gauche devient simplement le logarithme de base 𝑥 de 36. Rappelez-vous, c’est parce que le logarithme de base deux est l’opération réciproque de l’exposant de deux. Sur le membre droit, nous obtenons deux à la puissance un, ce qui est juste deux. Donc, notre nouvelle équation est le logarithme de base 𝑥 de 36 égal à deux.
Nous avons encore un logarithme à aborder. C’est le logarithme de base 𝑥. Maintenant, cette fois, nous allons élever les deux membres comme une puissance de 𝑥. Ou encore, nous revenons à notre définition. De toute façon, il nous reste simplement 36 sur le membre gauche. Et à droite, nous avons 𝑥 au carré. Nous avons maintenant une équation très simple en fonction de 𝑥. Nous allons trouver la racine carrée des deux membres de notre équation.
Maintenant, nous trouvons généralement la racine carrée positive et négative de 36. Mais 𝑏 non seulement doit être positif, mais il ne peut pas être égal à un. Et donc, nous nous intéressons à la racine carrée positive de 36 seulement, qui est six. Donc, nous avons résolu notre équation logarithmique, et nous obtenons 𝑥 est égal à six.
