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Vidéo de question : Utiliser des identités périodiques pour évaluer une fonction trigonométrique impliquant des angles remarquables Mathématiques

Déterminez la valeur exacte de tangente 7𝜋/6 sans utiliser la calculatrice.

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Transcription de vidéo

Déterminez la valeur exacte de tangente de sept 𝜋 sur six sans utiliser la calculatrice.

Nous commençons d’abord par tracer le cercle trigonométrique afin d’identifier le quadrant où se situe l’angle sept 𝜋 sur six. Nous rappelons que tout angle en position standard se mesure à partir de l’axe des 𝑥 positifs. Et si l’angle est positif, comme c’est le cas ici, nous le mesurons dans le sens anti horaire. Nous pouvons noter les angles 𝜋 sur deux, 𝜋, trois 𝜋 sur deux et deux 𝜋 radians. Sept 𝜋 sur six est supérieur à 𝜋 mais inférieur à trois 𝜋 sur deux. Ceci signifie que l’angle se situe donc dans le troisième quadrant.

Nous savons que tout point situé sur le cercle trigonométrique a pour coordonnées cosinus 𝜃, sinus 𝜃. Ceci signifie que le point d’intersection entre le côté final de cet angle et le cercle trigonométrique a pour coordonnées cosinus sept 𝜋 sur six, sinus sept 𝜋 sur six. Pour calculer la valeur des coordonnées 𝑥 et 𝑦, nous devons d’abord trouver la mesure de l’angle entre le côté final et l’axe des 𝑥, appelée angle de référence. Puisque l’angle entre l’axe des 𝑥 positifs et l’axe des 𝑥 négatifs est 𝜋, l’angle de référence 𝛼 est égal à sept 𝜋 sur six moins 𝜋, ce qui est égal à 𝜋 sur six.

En traçant une droite perpendiculaire à l’axe des 𝑥 partant du point d’intersection, nous pouvons créer un triangle rectangle, comme ceci. Faisons un peu de place pour pouvoir dessiner ce triangle en plus grand. Comme ce point se trouve sur le cercle trigonométrique, la longueur de l’hypoténuse du triangle mesure une unité. Comme déjà mentionné, le point se trouve dans le troisième quadrant, ce qui signifie les coordonnées 𝑥 et 𝑦 du point sont donc négatives. Puisque les côtés d’un triangle ont des longueurs positives, nous pouvons multiplier les coordonnées par moins un, ce qui nous donne des longueurs de moins sinus de sept 𝜋 sur six et moins cosinus de sept 𝜋 sur six.

Dans tout triangle rectangle, le sinus d’un angle 𝜃 est égal au côté opposé sur l’hypoténuse. Et le cosinus de l’angle 𝜃 est égal au côté adjacent sur l’hypoténuse. Ceci signifie que le sinus de 𝜋 sur six est égal à moins sinus de sept 𝜋 sur six sur un. 𝜋 sur six radians soit 30 degrés est un angle remarquable. Et nous savons que le sinus de cet angle est égal à un demi. Ceci signifie que moins sinus de sept 𝜋 sur six est égal à un demi. Et en multipliant par moins un, le sinus de sept 𝜋 sur six est égal à moins un demi.

Faisons de même avec le cosinus. Le cosinus de 𝜋 sur six est égal à moins cosinus de sept 𝜋 sur six divisé par un, ce qui est égal à moins cosinus de sept 𝜋 sur six. Le cosinus de 𝜋 sur six soit 30 degrés est égal à racine de trois sur deux. Donc c’est égal à moins cosinus de sept 𝜋 sur six. Encore une fois, nous pouvons multiplier par moins un, ce qui nous donne cosinus de sept 𝜋 sur six est égal à moins racine de trois sur deux.

On nous demande de trouver la valeur exacte de tangente de sept 𝜋 sur six. D’après l’une des identités trigonométriques la tangente de 𝜃 est égale à sinus 𝜃 sur cosinus 𝜃. La tangente de sept 𝜋 sur six est donc égale au sinus de sept 𝜋 sur six divisé par le cosinus de sept 𝜋 sur six. En utilisant les valeurs déjà calculées, c’est égal à moins un demi divisé par moins racine de trois sur deux. Nous savons que diviser par une fraction revient à multiplier par l’inverse de cette fraction. Ceci signifie que la tangente de sept 𝜋 sur six est égale à moins un demi multiplié par moins deux sur racine de trois. En simplifiant par le facteur deux puis en multipliant les numérateurs et dénominateurs séparément, nous obtenons un sur racine de trois.

Enfin, nous pouvons rendre rationnel le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par racine de trois. La valeur exacte de tangente de sept 𝜋 sur six est racine de trois sur trois.

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