Transcription de la vidéo
Déterminez les valeurs de 𝑥 et 𝑦.
Dans la figure ci-dessous, on nous donne un quadrilatère 𝐴𝐵𝐶𝐷 et nous notons que les quatre sommets de ce quadrilatère sont inscrits sur le cercle. Cela signifie que 𝐴𝐵𝐶𝐷 est un quadrilatère inscriptible. Une propriété importante que nous pourrions alors appliquer est que les angles opposés dans un quadrilatère inscriptible sont complémentaires. Leur somme fait 180 degrés. La première chose que nous pourrions observer alors est que l’angle en 𝐴 est opposé à l’angle en 𝐶. Nous pourrions donc écrire l’équation selon laquelle quatre 𝑥 degrés plus 68 degrés est égal à 180 degrés. Faites attention car une erreur très courante lorsque nous travaillons avec des quadrilatères cycliques est d’oublier que les angles opposés sont complémentaires et de penser à tort que les angles opposés sont égaux.
Ainsi, puisque quatre 𝑥 plus 68 degrés égalent 180 degrés, alors quatre 𝑥 degrés doit être égal à 180 degrés moins 68 degrés. Cela donne 112 degrés. Lorsque nous divisons par quatre, nous obtenons que 𝑥 degrés est égal à 28 degrés, ou plus simplement 𝑥 est égal à 28. Maintenant que nous avons trouvé 𝑥, voyons comment nous pouvons trouver 𝑦. L’angle qui est opposé à l’angle en 𝐵, qui est de 𝑦 degrés, est l’angle en 𝐷. Seulement, on ne nous donne pas une mesure pour cela. Même si nous avons calculé que la mesure de l’angle 𝐴 est de 112 degrés, cela ne suffit pas pour nous permettre de trouver la mesure de l’angle 𝐵.
Utilisons donc l’autre information qui nous est donnée dans la figure. Nous voyons que les segments de droite 𝐴𝐵 et 𝐴𝐷 sont congruents. Ces deux segments de droite sont en fait des cordes du cercle. Imaginons que nous créons ce triangle 𝐴𝐵𝑀 et un autre triangle ici en 𝐴𝐷𝑀. 𝐵𝑀 et 𝐴𝑀 sont les deux rayons du cercle et ils auront donc la même longueur. 𝐷𝑀 est aussi un rayon il sera donc congruent avec les deux autres rayons. Alors, que pouvons-nous dire de ce triangle 𝐴𝐵𝑀 ? Bien, nous savons que ce sera un triangle isocèle, car il a deux côtés de même longueur. Ainsi, si l’angle 𝐴𝐵𝑀 est de 𝑦 degrés, alors l’angle 𝐵𝐴𝑀 doit également être de 𝑦 degrés.
De la même manière, nous pouvons aussi dire que ce triangle 𝐴𝑀𝐷 est aussi un triangle isocèle. Plus important encore, nous pouvons également dire que le triangle 𝐴𝐵𝑀 est congruent au triangle 𝐴𝐷𝑀. Nous pouvons le dire en appliquant le critère de congruence côté-côté-côté. Il y a trois côtés correspondants qui sont congruents. Par conséquent, nous pouvons dire que la mesure de l’angle 𝑀𝐴𝐷 doit également être 𝑦 degrés, de même que la mesure de l’angle 𝑀𝐷𝐴. On nous a dit que cet angle 𝐵𝐴𝐷 est de quatre 𝑥 degrés et nous savons que quatre 𝑥 degrés vaut 112 degrés. Puisque cela correspond à deux 𝑦, nous pouvons alors diviser par deux pour trouver que 𝑦 degrés est égal à 56 degrés. Nous pouvons alors donner la réponse que 𝑥 est égal à 28 et 𝑦 est égal à 56.
