Vidéo question :: Conversion de nombres complexes de la forme polaire à la forme exponentielle Mathématiques

Transcription de la vidéo

Ecrivez 𝑍 est égal à quatre fois la racine carrée de trois le tout multiplié par cosinus de cinq 𝜋 sur six moins 𝑖 sinus de cinq 𝜋 sur six sous le forme exponentielle.

La première chose que nous pouvons faire est de reconnaître que nous avons un nombre complexe. Les nombres complexes peuvent être exprimés sous différentes formes. Ce sont la forme trigonométrique, la forme exponentielle et la forme algébrique. Pour cette question, nous n’utiliserons pas la forme algébrique. Alors mettons-la de côté. Nous devrions être en mesure de voir que la question exprime le nombre complexe 𝑍 sous une forme très proche de la forme trigonométrique. Une différence que nous pouvons immédiatement remarquer est que, au lieu d’avoir un symbole positif entre notre cosinus 𝜃 et notre 𝑖 sinus 𝜃, nous avons plutôt un symbole négatif.

Pour avancer, travaillons à changer ce symbole. En raison des symétries de la fonction sinus, nous pouvons utiliser l’identité suivante. Moins sinus de 𝜃 est égal au sinus de moins 𝜃. Cette identité nous permet de prendre le terme de notre question, moins 𝑖 sin de cinq 𝜋 sur six, et l’assimiler à plus 𝑖 sinus de moins cinq 𝜋 sur six. Nous réécrivons ensuite le nombre complexe 𝑍 donné dans la question comme quatre fois la racine carrée de trois le tout multiplié par cosinus de cinq 𝜋 sur six plus 𝑖 sinus moins cinq 𝜋 sur six. Et ici nous pouvons voir le terme qui a été substitué.

Revenons maintenant à la forme trigonométrique que nous visons. Nous avons fait correspondre le symbole positif entre notre terme cosinus 𝜃 et notre terme 𝑖 sinus 𝜃. Cependant, ce faisant, nous avons introduit une nouvelle différence. Au lieu d’avoir des valeurs correspondantes de 𝜃 entre notre terme cosinus et notre terme sinus, nous avons maintenant le positif et le négatif d’une valeur 𝜃.

Pour changer cela, nous pouvons utiliser une autre identité, qui résulte de la symétrie de la fonction cosinus. L’identité est que cosinus de 𝜃 est égal à cosinus de moins 𝜃. Ceci nous permet de prendre le terme de notre question, cosinus de cinq 𝜋 sur six, et de l’assimiler à cosinus de moins cinq 𝜋 sur six. En replaçant ceci dans notre équation, nous pouvons dire que notre nombre complexe, 𝑍, est égal à quatre fois la racine carrée de trois le tout multiplié par cosinus de moins cinq 𝜋 sur six plus 𝑖 sin de moins cinq 𝜋 sur six. Ainsi, nous avons maintenant fait correspondre les valeurs 𝜃 pour nos deux termes.

Il y a maintenant une dernière chose dont nous devons tenir compte. Généralement, lors de l’expression d’un nombre complexe sous forme trigonométrique ou exponentielle, nous voulons que notre valeur de 𝜃 soit supérieure ou égale à zéro et strictement inférieure à deux 𝜋 en radians. Pour ce faire, nous pouvons observer la périodicité des fonctions sinus et cosinus. Ces deux fonctions se répètent avec un intervalle de deux 𝜋 radians. Et cela nous permet de dire que sinus de 𝜃 est égal à sinus de 𝜃 plus deux 𝜋𝑛, où 𝑛 prend des valeurs entières.

Pour utiliser cette relation, nous devons trouver la valeur de 𝑛 qui nous donnera une valeur 𝜃 dans l’intervalle souhaité. Il s’avère que, nous pouvons utiliser le cas simple de 𝑛 est égal à un. En prenant le cosinus pour un exemple, notre identité se réduit à cosinus de 𝜃 est égale à cosinus de 𝜃 plus deux 𝜋.

Voyons cette substitution en action lorsqu’elle est effectuée à la fois sur les termes cosinus et sinus. Les termes entre parenthèses deviennent maintenant cosinus de moins cinq 𝜋 sur six plus deux 𝜋. Et la même chose est vraie pour notre terme sinus. Nous pouvons simplifier ceci en reconnaissant que moins cinq 𝜋 sur six plus deux 𝜋 est le même que moins cinq 𝜋 sur six plus 12𝜋 sur six, qui se simplifie alors à sept 𝜋 sur six. Nous pouvons maintenant confirmer que cette valeur se situe bien dans l’intervalle pour 𝜃 que nous recherchons.

Voyons à quoi ressemble notre nombre complexe après cette simplification. Nous avons maintenant 𝑍 est égal à quatre fois la racine carrée de trois le tout multiplié par cosinus de sept 𝜋 sur six plus 𝑖 sinus de sept 𝜋 sur six. Nous pouvons maintenant voir que nous avons trouvé la forme trigonométrique pour un nombre complexe que nous recherchons.

En général, un nombre complexe exprimé de cette manière, 𝑍 est égal à 𝑟 fois cosinus 𝜃 plus 𝑖 sinus 𝜃, peut également être exprimé sous forme exponentielle. 𝑍 est égal à 𝑟 fois 𝑒 à la puissance 𝑖𝜃. Nous pouvons passer d’une de ces formes à l’autre en prenant les valeurs de 𝑟 et 𝜃 et en les mettant sous l’expression correspondante.

En regardant notre nombre complexe, nous pouvons voir que notre valeur pour 𝑟 est quatre fois la racine carrée de trois. Et notre valeur pour 𝜃 est sept 𝜋 sur six. Nous pouvons prendre nos valeurs pour 𝑟 et pour 𝜃 et les utiliser pour exprimer notre nombre complexe sous forme exponentielle. Nous avons donc répondu à notre question. Et nous pouvons dire que notre nombre complexe, 𝑍, sous forme exponentielle est quatre fois la racine carrée de trois fois 𝑒 à la puissance sept 𝜋 sur six fois 𝑖.