Transcription de la vidéo
Déterminez l’ensemble solution du système formé des équations 𝑦 plus deux 𝑥 égal à trois et 𝑥 au carré plus 𝑥𝑦 plus 𝑦 au carré égal à trois.
Pour résoudre un système d’équations, il existe plusieurs méthodes : substitution, élimination, représentation graphique, etc. Nous allons utiliser ici la méthode par substitution. Nous allons donc prendre l’une des équations, déterminer une des variables, puis la remplacer dans l’autre équation. Comme cette équation est plus courte, nous allons l’utiliser et exprimer 𝑦. Cela semble le plus simple. Et en soustrayant deux 𝑥 au membre de droite, nous obtenons 𝑦 égal moins deux 𝑥 plus trois. Alors maintenant que nous avons une expression de 𝑦, nous pouvons remplacer 𝑦 dans l’autre équation.
Ici, nous avons pris moins deux 𝑥 plus trois et nous avons remplacé 𝑦 par cette valeur dans la deuxième équation. Et maintenant, nous allons calculer. Nous devons donc développer en multipliant par 𝑥 et calculer le carré de notre binôme. Nous avons donc repris le 𝑥 au carré. 𝑥 fois moins deux 𝑥 donne moins deux 𝑥 au carré et 𝑥 fois trois donne trois 𝑥. Lorsque nous prenons le carré de quelque chose, cela signifie que nous le multiplions par lui-même. Nous allons donc devoir développer.
Alors allons-y et développons cette expression. Moins deux 𝑥 fois moins deux 𝑥 donne plus quatre 𝑥 au carré. Moins deux 𝑥 fois trois donne moins six 𝑥. Trois fois moins deux 𝑥 donne moins six 𝑥. Et trois fois trois donne neuf. Maintenant, nous pouvons réécrire tout le reste. Écrivons donc le signe égal et le trois, puis tout ce que nous avions auparavant. Maintenant il faut regrouper les termes similaires. Alors, la puissance la plus élevée est deux dans 𝑥 au carré. Alors regroupons tous ces termes. C’est-à-dire 𝑥 carré moins deux 𝑥 carré plus quatre 𝑥 carré, ce qui donne trois 𝑥 carré. Trois 𝑥 moins six 𝑥 moins six 𝑥 donne moins neuf 𝑥. Et pour regrouper le neuf et le trois, soustrayons trois des deux membres. Nous obtenons donc six et les trois s’annulent. Alors, nous avons maintenant zéro.
Nous devons donc résoudre cette équation. Nous pouvons déterminer la valeur de 𝑥, et ensuite une fois nous avons 𝑥, nous pouvons la remplacer par sa valeur et déterminer 𝑦. Donc, d’abord, nous avons trois, moins neuf et six comme coefficients. Nous pouvons les diviser tous par trois. C’est le plus grand commun diviseur. Et nous simplifions par trois. Il nous reste 𝑥 au carré moins trois 𝑥 plus deux car nous avons tout divisé par trois. Maintenant, nous devons factoriser cette expression du second degré. Donc, quels nombres ont leur produit égal à deux et donnent trois lorsqu’on les additionne ? Il s’agit de moins deux et moins un.
Nous avons donc le PGCD, le plus grand commun diviseur, qui vaut trois et 𝑥 moins deux et 𝑥 moins un. Il faut ensuite écrire que chacun de ces facteurs est égal à zéro. Alors, trois égal à zéro ne donne rien ; ce n’est même pas vrai. Nous pouvons donc ignorer cette égalité. Si nous avions une variable, comme 𝑥, nous aurions pu déterminer sa valeur. Maintenant, 𝑥 moins deux égale zéro. Nous ajoutons deux des deux côtés et nous obtenons 𝑥 égale deux. Puis, nous devons ajouter un à notre équation suivante et nous obtenons 𝑥 égal à un.
Nous avons donc soit 𝑥 égal deux, soit 𝑥 égal un. Nous pouvons donc maintenant prendre ces valeurs et les remplacer dans l’une ou l’autre des équations d’origine. Alors allons-y et utilisons l’équation la plus courte qui est celle-ci. Mais, ces équations sont exactement les mêmes. Tout ce que nous avons fait, c’est de déplacer le terme en 𝑥 à droite. Donc, puisque 𝑦 est déjà isolé, utilisons cette équation ici.
Donc, en utilisant 𝑥 égale deux, nous avons moins deux fois deux, ce qui fait moins quatre plus trois, ce qui fait moins un. Donc, lorsque 𝑥 égal deux, 𝑦 égal moins un. Et maintenant, utilisons 𝑥 égal à un. Et moins deux fois un fait moins deux, plus trois, cela fait plus un. Donc, une autre solution du système d’équations est un, un.
Par conséquent, les solutions du système d’équations sont deux, moins un et un, un.
